Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

Ver Teoria

Enunciado

Utilizando o método de redução de ordem, determine uma segunda solução de cada uma das seguintes equações:

x - 1 y ' ' - x y ' + y = 0 ,     x > 1       y 1 t = e x

Passo 1

Fala galera, bora resolver nosso exercício?

No caso, o enunciado pede para que a gente use o Método de Redução de Ordem. Isso acaba sendo possível por que também é dado para a gente uma solução:

y 1 t = e x

Como queremos uma outra solução, vamos relacionar da seguinte forma:

y 2 t = g ( x ) e x

E com isso, vamos trabalhar com essa igualdade na nossa equação principal

x - 1 y ' ' - x y ' + y = 0

Passo 2

Vamos começar derivando nossa solução:

y 2 t = g ( x ) e x

y ' 2 = g ' x e x + g x e x = e x g ' x + g x

y ' ' 2 = g ' ' x e x + 2 g ' x e x + g x e x = e x g ' ' x + g ' x + g x

Com as derivadas calculadas, vamos substituir na nossa equação:

x - 1 y ' ' - x y ' + y = 0

x - 1 e x g ' ' x + g ' x + g x - x e x g ' x + g x + g ( x ) e x = 0

Temos uma equação enorme né? Mas vamos poder simplificar. Sabendo que e x ≠ 0 ,

x - 1 g ' ' x + g ' x + g x - x g ' x + g x + g ( x ) = 0

x g ' ' x + x g ' x + x g x - g ' ' x + g ' x + g x - x g ' x + x g x + g ( x ) = 0

x g ' ' x - g ' ' x - g ' x = 0

( x - 1 ) g ' ' x - g ' x = 0

Agora, olha como estamos no caminho certo. Para simplificar ainda mais, vamos dividir todos os termos por ( x - 1 ) . Porém, só podemos fazer isso se

x - 1 ≠ 0

x ≠ 1

PORÉM, o enunciado nos diz que:

x > 1

Então vamos simplificar, ta liberado!

g ' ' x - g ' x x - 1 = 0

Opa opa, olha só, estamos quase la. Agora vou dizer que:

u x = g ' x → u ' x = g ' ' ( x )

Então:

u ' x - u x x - 1 = 0

Show, conseguimos reduzir, agora vamos calcular a solução.

Passo 3

Vamos calcular:

u ' x - u x x - 1 = 0

u ' x = u x x - 1

Para facilitar nossas contas, vamos mudar a notação da escrita:

d u d x = u x - 1

Agora vamos jogar tudo o que é u para um lado e tudo o que é x para outro lado:

1 u d u = 1 x - 1 d x

Integrando os dois lados:

∫ 1 u d u = ∫ 1 x - 1 d x

ln ⁡ u = ln ⁡ x - 1 + C

Para ajudar nas contas, vamos dizer que C = ln ⁡ K

ln ⁡ u = ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ K

ln ⁡ u = ln ⁡ x - 1 × K

u = K ( x - 1 )

Agora voltando:

u x = g ' x = K ( x - 1 )

Integrando g ' x :

g x = ∫ K ( x - 1 ) d x = K x 2 2 - x

Pegando a nossa igualdade do Passo 1:

y 2 t = g ( x ) e x

y 2 t = K x 2 2 - x e x

Resposta

y 2 t = K x 2 2 - x e x

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a solução geral da equação diferencial dada. y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0
Se ar² + br + c = 0 tem raízes iguais r1, mostre queComo a última expressão à direita na Eq. (i) é nula quando r = r1, segue que exp(r1t) é uma solução de L[y] = ay′′ + by′ + cy = 0.
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é em que c1 é constante.
Considere o problema de valor inicialEncontre as coordenadas do ponto de máximo (tM, yM) em função de b. Descreva a dependência em b de tM e de yM quando b aumenta.