Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2011, Questão 4

Sabendo-se que y = e x 3 é uma solução da equação

x y ' ' - 2 y ' + - 9 x 5 y = 0

Determine a solução geral da equação

x y ' ' - 2 y ' - 9 x 5 y = 6 x 5 e x 3

Passo 1

Temos uma EDO que ele deu uma solução, podemos usar o método da redução de ordem para achar a outra solução.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos aplicar o método da redução de ordem, para isso vamos ter a outra solução da forma

y 2 = ϕ x y 1

Então vamos ter

y 2 = ϕ x e x 3

Agora vamos substituir essa solução na EDO, primeiro temos que achar suas derivadas

y 2 ' = ϕ ' e x 3 + ϕ 3 x 2 e x 3

y 2 ' ' = ϕ ' ' e x 3 + ϕ ' 3 x 2 e x 3 + ϕ ' 3 x 2 e x 3 + ϕ 6 x e x 3 + ϕ 3 x 2 3 x 2 e x 3

y 2 ' ' = ϕ ' ' e x 3 + ϕ ' 6 x 2 e x 3 + ϕ 6 x e x 3 + ϕ 9 x 4 e x 3

Passo 3

Agora vamos substituir isso na EDO, nossa EDO é

x y ' ' - 2 y ' + 9 x 5 y = 0

x ϕ ' ' e x 3 + ϕ ' 6 x 2 e x 3 + ϕ 6 x e x 3 + ϕ 9 x 4 e x 3 - 2 ϕ ' e x 3 + ϕ 3 x 2 e x 3 - 9 x 5 ϕ e x 3 = 0

ϕ ' ' x e x 3 + ϕ ' 6 x 3 e x 3 + ϕ 6 x 2 e x 3 + ϕ 9 x 5 e x 3 - 2 ϕ ' e x 3 - ϕ 6 x 2 e x 3 - 9 x 5 ϕ e x 3 = 0

Arrumando isso vamos ter

ϕ ' ' x e x 3 + ϕ ' 6 x 3 e x 3 - 2 ϕ ' e x 3 = 0

O exponencial é sempre maior que 0 então

ϕ ' ' x + ϕ ' 6 x 3 - 2 = 0

Passo 4

A próxima coisa que fazemos é trocar esse ϕ por u para deixar essa nova EDO com uma ordem a menos, ou seja

u = ϕ '

E vamos ter

u ' x + u 6 x 3 - 2 = 0

Passo 5

Essa nova equação é uma equação linear de 1 ª ordem, mas repara que neste caso essa EDO é uma EDO separável, que é mais fácil de fazer que a equação linear de 1 ª ordem.

Vamos trocar u ' por d u d x

d u d x x + u 6 x 3 - 2 = 0

Agora isolamos d u d x

d u d x x = - u 6 x 3 - 2

E vamos multiplicar cruzado deixando tudo que tem u na esquerda e tudo que tem x na direita.

d u u = - 6 x 3 - 2 x d x

d u u = - 6 x 2 + 2 x d x

Integrando dos dois lados temos

d u u = - 6 x 2 + 2 x d x

Que vai ficar

ln u = - 6 x 3 3 + 2 ln x

ln u = - 2 x 3 + 2 ln x

Aqui não precisamos nos preocupar com a constante, isso porque no fim da solução ela aparece naturalmente quando fazemos C 1 y 1 + C 2 y 2

Vamos ter

u = e - 2 x 3 + 2 ln x

u = e - 2 x 3 e 2 ln x

u = e - 2 x 3 e ln x 2

u = e - 2 x 3 x 2

u = x 2 e - 2 x 3

Vamos considerar u > 0 afinal, ali é um produto de um cara sempre positivo x 2 com um exponencial,

u = x 2 e - 2 x 3

Passo 6

Agora temos que voltar para ϕ ,

ϕ ' = u

ϕ ' = x 2 e - 2 x 3

E vamos ter

ϕ = x 2 e - 2 x 3 d x

Vamos resolver essa integral, para isso vamos fazer

a = - 2 x 3

d a = - 6 x 2 d x x 2 d x = - d a 6

Substituindo na integral temos

- e a d a 6 = - e a 6

Voltando para x

- e a 6 = - e - 2 x 3 6

e

ϕ = - e - 2 x 3 6

E achamos a segunda solução

y 2 = e x 3 - e - 2 x 3 6 = - e - x 3 6

Passo 7

A solução da nossa EDO homogênea vai ser

y h = C 1 y 1 + C 2 y 2

y h = C 1 e x 3 - C 2 e - x 3 6

Podemos juntar aquele C 2 com aquele - 1 6

y h = C 1 e x 3 + C 2 e - x 3

Passo 8

Agora temos que achar a solução da EDO

x y ' ' - 2 y ' + 9 x 5 y = 6 x 5 e x 3

Lembrando que a solução vai ser

y = y h + y p

Onde y h é a solução da homogênea associada e y p é a solução da particular.

A solução da homogênea já temos, vamos agora para a particular, para isso vamos usar o método da variação de parâmetros, já temos y 1 e y 2 da homogênea, temos que achar

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

Primeiro temos que deixar só y ' ' ali quando usamos a variação de parâmetros

y ' ' - 2 x y ' + 9 x 4 y = 6 x 4 e x 3

No nosso caso temos

y 1 = e x 3

y 2 = e - x 3

Onde

f 1 ' x = y 2 x B x M

E

f 2 ' x = - y 1 x B x M

Onde B x é aquela função do lado direito da EDO, e M vai ser

M = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1

Vamos achar aqui rapidinho M e B x porque vamos usar para achar f 1 e f 2

B x = 6 x 4 e x 3

E

M = e x 3 ' e - x 3 - e - x 3 ' e x 3

M = 3 x 2 e x 3 e - x 3 - - 3 x 2 e - x 3 e x 3

M = 3 x 2 + 3 x 2

M = 6 x 2

Passo 9

Vamos começar achando f 1

f 1 ' x = e - x 3 6 x 4 e x 3 6 x 2

f 1 ' x = x 2

Vamos ter

f 1 x = x 3 3

Passo 10

Vamos agora a f 2

f 2 ' x = - e x 3 6 x 4 e x 3 6 x 2

f 2 ' x = - x 2 e 2 x 3

Então

f 2 x = - x 2 e 2 x 3 d x

Passo 11

Vamos resolver essa integral para isso vamos fazer

a = 2 x 3

d a = 6 x 2 d x x 2 d x = d a 6

Substituindo na integral temos

e a d a 6 = e a 6

Voltando para x

e a 6 = e 2 x 3 6

Passo 12

Assim nossa função f 2 vai ser

f 2 = - e 2 x 3 6

A nossa solução particular vai ser

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p = x 3 3 e x 3 + - e 2 x 3 6 e - x 3

y p = x 3 e x 3 3 - e x 3 6

E a solução geral vai ser

y = y h + y p

y = C 1 e x 3 + C 2 e - x 3 + x 3 e x 3 3 - e x 3 6

Resposta

y = C 1 e x 3 + C 2 e - x 3 + x 3 e x 3 3 - e x 3 6

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