Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 11, Questão 15

Passo 1

O método de redução de ordem nos diz que a nossa solução será na forma

y 2 x = ϕ x y 1 ( x )

y 2 x = ϕ cosh ⁡ x

Vamos calcular y ' ' para substituir na nossa equação.

y 2 ' = ϕ senh ⁡ x + ϕ ' cosh ⁡ x

y 2 ' ' = ϕ ' senh ⁡ x + ϕ cosh ⁡ x + ϕ ' senh ⁡ x + ϕ ' ' cosh ⁡ x

y 2 ' ' = ϕ ' ' cosh ⁡ x + 2 ϕ ' senh ⁡ x + ϕ cosh ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo a derivada na nossa EDO.

y ' ' - y = 0

ϕ ' ' cosh ⁡ x + 2 ϕ ' senh ⁡ x = 0

Para colocar essa equação no formato de EDO de primeira ordem, vamos fazer uma substituição.

u = ϕ '

u ' = ϕ ' '

u ' cosh ⁡ x + 2 u senh ⁡ x = 0

Passo 3

Agora só precisamos resolver a EDO linear de primeira ordem normalmente. Neste caso temos uma EDO separável.

u ' cosh ⁡ x + 2 u senh ⁡ x = 0

d u d x = - 2 u senh ⁡ x cosh ⁡ x

d u u = - 2 tanh ⁡ x d x

Integrando de ambos os lados

ln ⁡ u = - 2 ln ⁡ cosh ⁡ x + C

ln ⁡ u = ln ⁡ cosh ⁡ x - 2 + C

u = 1 C cosh 2 ⁡ x

Passo 4

Precisamos então encontrar ϕ a partir de u .

ϕ ' = u

ϕ ' = 1 C cosh 2 ⁡ x

Integrando os dois lados teremos e tomando C = 1

ϕ = tanh ⁡ x

Então

y 2 = ϕ cosh ⁡ x

y 2 = tanh ⁡ x cosh ⁡ x

y 2 = senh ⁡ x

Resposta

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