Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 11, Questão 18

Passo 1

O método de redução de ordem diz que a nossa outra solução será da seguinte forma.

y 2 x = ϕ x y 1 x = ϕ x x 3 ln ⁡ x

Vamos calcular y 2 ' e y 2 ' ' pra substituir na nossa equação.

y 2 ' = ϕ ' x 3 ln ⁡ x + ϕ ( 3 x 2 ln ⁡ x + x 2 )

y 2 ' ' = ϕ ' ' x 3 ln ⁡ x + 2 ϕ ' 3 x 2 ln ⁡ x + x 2 + ϕ ( 6 x ln ⁡ x + 5 x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos substituir esses resultados que encontramos na EDO.

x 2 ϕ ' ' x 3 ln ⁡ x + 2 ϕ ' 3 x 2 ln ⁡ x + x 2 + ϕ 6 x ln ⁡ x + 5 x - 5 x ϕ ' x 3 ln ⁡ x + ϕ 3 x 2 ln ⁡ x + x 2 + 9 ϕ x 3 ln ⁡ x = 0

ϕ ' ' x 5 ln ⁡ x + ϕ ' 6 x 4 ln ⁡ x + 2 x 4 - 5 x 4 ln ⁡ x + ϕ 6 x 3 ln ⁡ x + 5 x 2 - 15 x 3 ln ⁡ x - 5 x 2 + 9 x 3 ln ⁡ x = 0

ϕ ' ' x 5 ln ⁡ x + ϕ ' x 4 ln ⁡ x + 2 x 4 = 0

ϕ ' ' + ϕ ' ln ⁡ x + 2 x ln ⁡ x = 0

Essa equação ainda não está naquele formato de EDO de primeira ordem que queremos, mas vamos fazer uma mudança de variável.

u = ϕ ' ,     u ' = ϕ ' '

u ' + u ln ⁡ x + 2 x ln ⁡ x = 0  

Passo 3

Agora é só resolvermos como uma EDO linear de primeira ordem normal.

u ' + u ln ⁡ x + 2 x ln ⁡ x = 0  

A x = ln ⁡ x + 2 x ln ⁡ x

B x = 0

Calculando I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ ln ⁡ x + 2 x ln ⁡ x d x = ∫ 1 x d x + 2 ∫ 1 x ln ⁡ x d x

∫ A x d x = ln ⁡ x + 2 ln ⁡ ln ⁡ x

I x = e ln ⁡ x + 2 ln ⁡ ln ⁡ x = x ( ln ⁡ x ) 2

Passo 4

Como B x = 0 temos que ∫ I x B x d x = 0 . Sendo assim a nossa solução será.

u = 1 I x ∫ I x B x d x + C

u = 1 x ln ⁡ x 2 ( 0 + C )

Passo 5

Agora temos que encontrar ϕ a partir de u .

ϕ ' = u = C x ln ⁡ x 2

Integrando os dois lados da equação teremos

ϕ = - C ln ⁡ x

Tomando C = - 1

ϕ = 1 ln ⁡ x  

y 2 = 1 ln ⁡ x x 3 ln ⁡ x = x 3

y 2 = x 3

Resposta

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