Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

Passo 1

O método de redução de ordem nos diz que a nossa solução será na forma

y 2 x = ϕ x y 1 ( x )

y 2 x = ϕ x 4

Vamos calcular y ' ' para substituir na nossa equação.

y 2 ' = ϕ ' x 4 + 4 ϕ x 3

y 2 ' ' = ϕ ' ' x 4 + 4 ϕ ' x 3 + 12 ϕ x 2 + 4 ϕ ' x 3

y 2 ' ' = ϕ ' ' x 4 + 4 8 + 12 ϕ x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo a derivada na nossa EDO.

x 2 y ' ' - 7 x y ' + 16 y = 0

x 2 ϕ ' ' x 4 + 4 ϕ ' x 3 + 12 ϕ x 2 + 4 ϕ ' x 3 - 7 x ϕ ' x 4 + 4 ϕ x 3 + 16 ϕ x 4 = 0

ϕ ' ' x 6 + 8 ϕ ' x 5 + 12 ϕ x 4 - 7 ϕ ' x 5 - 28 ϕ x 4 + 16 ϕ x 4 = 0

ϕ ' ' x 6 + ϕ ' x 5 = 0

Para colocar essa equação no formato de EDO de primeira ordem, vamos fazer uma substituição.

u = ϕ '

u ' = ϕ ' '

u ' x 6 + u x 5 = 0

Passo 3

Agora só precisamos resolver a EDO linear de primeira ordem normalmente. Neste caso temos uma EDO separável.

u ' x 6 + u x 5 = 0

d u d x = - u x

d u u = - 1 x d x

Integrando de ambos os lados

ln ⁡ u = - ln ⁡ x + C

ln ⁡ u = ln ⁡ x - 1 + C

u = 1 C x

Passo 4

Precisamos então encontrar ϕ a partir de u .

ϕ ' = u

ϕ ' = 1 C x

Integrando os dois lados teremos e tomando C = 1

ϕ = ln ⁡ | x |

Então

y 2 = ϕ x 4

y 2 = x 4 ln ⁡ | x |  

Resposta

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