Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2017.1, Questão 4

Considere a equação diferencial:

1 - x y ' ' + α x y ' - y = 0 ,                   x > 1

  1. Determine α de modo que y 1 x = e x seja solução da EDO acima.
  2. Considerando o valor de α determinado no item A , determine uma segunda solução linearmente independente para a equação diferencial.

Passo 1

  1. Bem, aqui não tem muito segredo. Se ele me deu uma solução, o que a gente deve fazer é calcular as suas derivadas e depois jogar na equação !
  2. Então vamos começar a calcular as suas derivadas que vamos precisar de y 1 x = e x :

    y 1 ' x = e x

    Calculando a derivada de segunda ordem

    y 1 ' ' x = e x

    Bem simples, neh? :D

    Passo 2

    Voltando para a E D O

    1 - x y ' ' + α x y ' - y = 0

    E substituindo esses caras que determinamos

    1 - x e x + α x e x - e x = 0

    Dividindo todos os termos por e x , teremos

    1 - x e x e x + α x e x e x - e x e x = 0 e x

    1 - x + α x - 1 = 0

    - x + α x = 0

    Colocando x em evidência

    x α - 1 = 0

    Como x > 1 , ( α - 1 ) só pode ser 0 , prtanto

    α = 1

    Passo 3

  3. Considerando o α = 1 agora a nossa equação fica

1 - x y ' ' + x y ' - y = 0

Como a primeira solução foi y = e x , a outra solução para essa equação que estamos buscando vai ser algo parecido: y 2 = g x e x .

Mas por que essa solução? Na verdade não sabemos ainda se vai funcionar. Aqui a gente trabalha muito com o “chutômetro”.

Mas embora seja um chute, sempre é aconselhável pegar dessa forma (a grande maioria das vezes vai funcionar! :D)

Então bora calcular as derivadas dela e ver se vai funcionar?!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando as derivadas dela não se esquecendo de aplicar a regra do produto:

y 2 ' = g ' x e x + g x e x

Calculando a segunda derivada, lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas...

y 2 ' ' = g ' x e x ' + g x e x '

Calculando a primeira

y 2 ' ' = g ' ' x e x + g ' x e x + g x e x '

A segunda parte da derivada note que já foi calculada, então

y 2 ' ' = g ' ' x e x + g ' x e x + g ' x e x + g x e x

y 2 ' ' = g ' ' x e x + 2 g ' x e x + g x e x

Passo 3

Voltando com tudo para dentro da EDO

1 - x y ' ' + x y ' - y = 0

Ficaremos após substituir os caras que acabamos de encontrar

1 - x g x ' ' e x + 2 g ' x e x + g x e x + x g ' x e x + g x e x - g x e x = 0

Colocando em evidência os termos e x de cada um dos três termos

1 - x g x ' ' + 2 g ' x + g x e x + x g ' x + g x e x - g x e x = 0

E agora dividindo por e x todo mundo

1 - x g x ' ' + 2 g ' x + g x e x e x + x g ' x + g x e x e x - g x e x e x = 0 e x

1 - x g x ' ' + 2 g ' x + g x + x g ' x + g x - g x = 0

Efetuando o produto entre os parênteses

g ' ' x + 2 g ' x + g x - x g ' ' ( x ) - 2 x g ' x - x g x + x g ' x + x g x - g x = 0

Juntando os mesmos termos

g ' ' x + 2 g ' x - x g ' ' ( x ) - x g ' x = 0

Colocando em evidência o termo g ' e o termo g ' '

1 - x g ' ' x + 2 - x g ' x = 0

Essa é a equação final que a gente tem que resolver!

Passo 4

Como podemos resolver essa equação?

Pow, perceba antes da mais nada que a gente não tem o termo g ( x ) nessa expressão, então a gente pode chamar g ' x = h ( x ) e teremos que h ' x = g ' ' ( x ) , logo

1 - x h ' ( x ) + 2 - x h ( x ) = 0

Percebeu o que fizemos? Saímos de uma coisa mais complexa, para uma EDO de primeira ordem que a gente mata fazendo variáveis separáveis, Me acompanha aqui!

Passo 5

Jogando esse termo do h ( x ) pro lado de lá da equação:

1 - x h ' x = - 2 - x h ( x )

Passando esse termo multiplicando h ' pro outro lado

h ' x = - 2 - x h x 1 - x

Fazendo o mesmo com o termo h ( x )

h ' x h ( x ) = - 2 - x 1 - x

Lembrando que h ' x = d h d x , a gente pode meio que pegar esse d x aí e passar para o outro lado multiplicando

d h h = - 2 - x 1 - x d x

Calculando a integral em ambos os lados

d h h = - 2 - x 1 - x d x

A integral do lado esquerdo é

d h h = ln h

Já a integral do lado direito, se a gente fazer uma manipulaçãozinha:

- 2 - x 1 - x d x = - 1 + 1 - x 1 - x d x

- 1 1 - x + 1 d x

Separando as integrais

- 1 1 - x + 1 d x = - 1 1 - x d x - 1 d x

= ln 1 - x - x + ln c

Lembrando que ln c é a constante de integração, escrita de maneira a simplificar as contas.

Logo, igualando os dois lados que integramos

ln h = ln ( 1 - x ) - x + ln c

Elevando ambos os lados a exponencial

h x = e ln 1 - x e - x e ln c

h x = 1 - x e - x c

Logo, se a gente multiplicar esses termos ganhamos

h x = c e - x - c x e - x

Passo 6

Não acabamos o problema ainda, pois devemos retornar a g ( x ) , o que não é complicado lembrando que h x = g ' ( x ) , teremos

g x = h x d x

g x = c e - x - c x e - x d x

Tirando a constante c da integral

g x = c e - x - x e - x d x

E notando que x e - x ' = e - x - x e - x

g x = c x e - x ' d x

g x = c x e - x + k

Voltando para o nosso problema, a outra solução para aquela EDO é

y = g x e x

y = c x e - x + k e x

Multiplicando

y = c x e - x e x + k e x

lembrando que produto de potência de mesma base, repete a base e soma os expoentes

y = c x e x - x + k e x

y = c x + k e x

Como k e - x já foi a solução dada no problema, a outra solução linearmente independente é c x , ou, tomando o c = 1

y 2 = x

Resposta

  1. α = 1
  2. y 2 x = x

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