Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

Defina u t = e p t / 2 y ( t ) , e mostre que u ( t ) satisfaz a equação:

u ' ' + I u = 0 ,     I = q - p 2 4

Onde y t satisfaz a EDO da 1 ª questão y ' ' + p y ' + q y = 0

Passo 1

Beleza, se estamos querendo mostrar que um cara é solução, precisamos que ele respeite a equação aqui em cima (a do y )!

u = e p t 2 y → y = u v

Depois a gente substitui o v ok?! É só pra facilitar as contas agora!

y ' = u v ' + u ' v

y ' ' = u v ' ' + 2 u ' v ' + u ' ' v

Agora substituindo:

u v ' ' + 2 u ' v ' + u ' ' v + p u v ' + u v ' + q u v = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos arrumar isso!

u v ' ' + 2 u ' v ' + u ' ' v + p u v ' + p u ' v + q u v = 0

Sabendo que:

v = e - p t 2

v ' = - p 2 e - p t 2

v ' ' = p 2 4 e - p t 2

E substituindo:

u p 2 4 e - p t 2 - 2 u ' p 2 e - p t 2 + u ' ' e - p t 2 - p u p 2 e - p t 2 + p u ' e - p t 2 + q u e - p t 2 = 0

Passo 3

Colocando a exponencial em evidência:

e - p t 2 u p 2 4 - 2 u ' p 2 + u ' ' - u p 2 2 + p u ' + q u = 0

Como e - p t 2 ≠ 0 :

u p 2 4 - u ' p + u ' ' - u p 2 2 + p u ' + q u = 0

- u p 2 4 + u ' ' + q u = 0

Finalmente:

u ' ' + u q - p 2 4 = 0

UHUL! Saiu!

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