Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

a) Encontre a solução geral de

y ' ' + 7 y ' = 4 e - t

b) Encontre a solução da equação que satisfaz y 0 = 1 e lim t → ∞ ⁡ y t = 2

Passo 1

( a ) Bom, teremos uma equação linear de primeira ordem se substituirmos y ' = v , certo?

v ' + p t . v = g ( t )

Nesse caso, p t = 7 e g t = 4 e - t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular, primeiro, u ( t ) , nosso fator integrante:

u t = e ∫ p t d t

u t = e ∫ 7 d t

u t = e 7 t

Passo 3

E agora o multiplicamos os dois lados da equação para termos:

u v ' = 4 e 6 t

u t v t = ∫     4 e 6 t d t = 2 e 3 6 t + C

Passo 4

Vamos isolar a nossa variável:

v t = 2 e - t 3 + C e - 7 t

Passo 5

Assim, teremos:

v t = 2 e - t 3 + C e - 7 t

y ' t = 2 e - t 3 + C e - 7 t

y t = - 2 e - t 3 + A e - 7 t + B

Onde A e B são números reais quaisquer.

Passo 6

( b ) Bom, temos um problema de valor de contorno agora certo? O que é pedido é que:

y 0 = - 2 3 + A + B = 1

lim t → ∞ ⁡ - 2 e 3 - t + A e - 7 t + B = 2

Assim temos o sistema:

A + B = 5 3

B = 2

Cuja solução é:

A = - 1 3   e   B = 2

Donde tiramos que nossa solução é : y t = - 2 e - t 3 - e - 7 t 3 + 2

Resposta

a y t = - 2 e - t 3 + A e - 7 t + B ,   A   e   B   ∈ R

( b ) y x = - 2 e - t 3 - e - 7 t 3 + 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas