Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

Sabendo que y 1 = e x é uma solução da EDO homogênea associada a

x y ' ' - 2 x + 1 y ' + x + 2 y = x 3

determine sua solução geral para x > 0 .

Passo 1

Para resolver esse tipo de problema em que já temos uma solução, vamos considerar a segunda solução como sendo

y 2 x = ϕ x y 1 x = ϕ x e x

Para achar a função ϕ x , vamos substituir y 2 x na EDO. Para isso, determinamos as derivadas:

y 2 ' x = ϕ ' x e x + ϕ x e x = e x ϕ ' x + ϕ x

y 2 ' ' x = e x ϕ ' x + ϕ x + e x ϕ ' ' x + ϕ ' x

y 2 ' ' x = e x ϕ ' ' x + 2 ϕ ' x + ϕ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora substituímos:

x e x ϕ ' ' x + 2 ϕ ' x + ϕ x - 2 x + 1 e x ϕ ' x + ϕ x + x + 2 ϕ x e x = x 3

Vamos simplificar isso aí:

x e x ϕ ' ' x + 2 x - 2 x + 1 e x ϕ ' x + x - 2 x + 1 + x + 2 ϕ x = x 3

x e x ϕ ' ' x - 2 e x ϕ ' x = x 3

Passo 3

Agora, como x > 0 , podemos dividir tudo por e x :

x ϕ ' ' x - 2 ϕ ' x = x 3 e - x

E temos outra EDO, só que dá para reduzir sua ordem fazendo u = ϕ ' x :

x u ' - 2 u = x 3 e - x

Dividindo tudo por x , temos: u ' - 2 x u = x 2 e - x

Repare que essa EDO está na forma:

u ' + A x u = B x

Ou seja, é uma EDO homogênea linear com

A x = - 2 x

B x = x 2 e - x

Como é uma EDO linear, a solução será na forma: u x = 1 I x ∫ B x I x d x + C

Passo 4

Começamos com o fator integrante I x , ele é dado por:

I x = e ∫ A x d x = e ∫ - 2 x d x = e - 2 ln ⁡ x = e ln ⁡ x - 2 = 1 x 2

Agora, calculamos a integral: ∫ B x I x d x = ∫ x 2 e - x ⋅ 1 x 2 d x = ∫ e - x d x = - e - x

Legal, então a solução em u vai ser: u x = 1 1 x 2 - e - x + C = - x 2 e - x + x 2 C

Passo 5

Como vimos, u = ϕ ' x , então:

ϕ ' x = - x 2 e - x + C x 2

ϕ x = - ∫ x 2 e - x d x + ∫ C x 2 d x

A integral da esquerda, resolvemos por partes: ∫ x 2 e - x d x

u = x 2 v = - e - x d u = 2 x d x d v = e - x d x

Ou seja:

∫ x 2 e - x d x = - x 2 e - x + 2 ∫ x e - x d x

Em que, por partes novamente:

∫ x e - x d x

u = x v = - e - x d u = d x d v = e - x d x

∫ x e - x d x = - x e - x + ∫ e - x d x = - x e - x - e - x = - e - x x + 1

Assim:

∫ x 2 e - x d x = - x 2 e - x + 2 ∫ x e - x d x

∫ x 2 e - x d x = - x 2 e - x - 2 e - x x + 1 = - e - x x 2 + 2 x + 2

A integral da direita será:

∫ C x 2 d x = x 3 3 C

E, portanto:

ϕ x = - ∫ x 2 e - x d x + ∫ C x 2 d x

ϕ x = e - x x 2 + 2 x + 2 + x 3 3 C

Passo 6

Achamos ϕ x , agora a segunda solução vai ser:

y 2 x = ϕ x e x = x 2 + 2 x + 2 + C 3 x 3 e x

Com isso, a solução geral do problema será dada pela combinação linear das duas soluções, ou seja:

y x = c 1 y 1 x + c 2 y 2 x

Com isso:

y x = c 1 e x + c 2 x 2 + 2 x + 2 + C 3 x 3 e x

Resposta

y x = c 1 e x + c 2 x 2 + 2 x + 2 + C 3 x 3 e x

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas