Exercícios Resolvidos de Métodos das Diferenças Finitas

Lista 5 – UNICAMP – Questão 10

Escreva uma desratização com aproximação de segunda ordem para a equação diferencial

y ' ' + t y ' + y = t 2 y 0 = 1 y 1 = 0

Prepare o esquema das equações resultantes que correspondem a tomar h = 0.1

Passo 1

Opa, tenho uma boa notícia, não vamos precisar resolver o sistema no final! Ótimo né? Podemos parar nas equações. Show, vamos lá.

Temos o seguinte:

y ' ' + t y ' + y = t 2

E teremos n intervalos de modo que:

n = b - a h = 1 0 . 1 = 10

Então vai ficar assim:

Beleza, agora vamos substituir as derivadas na nossa EDO:

y ' ' + t y ' + y = t 2

y i + 1 - 2 y i + y i - 1 h 2 + t i y i + 1 - y i - 1 2 h + y i = t i 2

Multiplicando os dois lados por h 2 :

y i + 1 - 2 y i + y i - 1 + h 2 t i y i + 1 - y i - 1 + h 2 y i = h 2 t i 2

Juntando os termos iguais:

y i + 1 1 + h 2 t i + y i - 2 + h 2 + y i - 1 1 - h 2 t i = h 2 t i 2

y i + 1 1 + 0.05 t i + y i - 1.99 + y i - 1 1 - 0.05 t i = 0.01 t i 2

i = 1 :

y 2 1 + 0.05 t 1 + y 1 - 1.99 + y 0 1 - 0.05 t 1 = 0.01 t 1 2

1.005 y 2 - 1.99 y 1 = - 0.9949

i = 2 :

y 3 1 + 0.05 t 2 + y 2 - 1.99 + y 1 1 - 0.05 t 2 = 0.01 t 2 2

1.01 y 3 - 1.99 y 2 + 0.99 y 1 = 0.0004

i = 3 :

y 4 1 + 0.05 t 3 + y 3 - 1.99 + y 2 1 - 0.05 t 3 = 0.01 t 3 2

1.015 y 4 - 1.99 y 3 + 0.985 y 2 = 0.0009

i = 4 :

y 5 1 + 0.05 t 4 + y 4 - 1.99 + y 3 1 - 0.05 t 4 = 0.01 t 4 2

1.02 y 5 - 1.99 y 4 + 0.98 y 3 = 0.0016

i = 5 :

y 6 1 + 0.05 t 5 + y 5 - 1.99 + y 4 1 - 0.05 t 5 = 0.01 t 5 2

1.025 y 6 - 1.99 y 5 + 0.975 y 4 = 0.0025

i = 6 :

y 7 1 + 0.05 t 6 + y 6 - 1.99 + y 5 1 - 0.05 t 6 = 0.01 t 6 2

1.03 y 7 - 1.99 y 6 + 0.97 y 5 = 0.0036

i = 7 :

y 8 1 + 0.05 t 7 + y 7 - 1.99 + y 6 1 - 0.05 t 7 = 0.01 t 7 2

1.035 y 8 - 1.99 y 7 + 0.965 y 6 = 0.0049

i = 8 :

y 9 1 + 0.05 t 8 + y 8 - 1.99 + y 7 1 - 0.05 t 8 = 0.01 t 8 2

1.04 y 9 - 1.99 y 8 + 0.96 y 7 = 0.0064

i = 9 :

y 10 1 + 0.05 t 9 + y 9 - 1.99 + y 8 1 - 0.05 t 9 = 0.01 t 9 2

- 1.99 y 9 + 0.955 y 8 = 0.00 81

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ufa, foram todas as equações! Nosso sistema ficaria assim:

- 1.99 1.005 0 0 0 0 0 0 0 0.99 - 1.99 1.01 0 0 0 0 0 0 0 0.985 - 1.99 1.015 0 0 0 0 0 0 0 0.98 - 1.99 1.02 0 0 0 0 0 0 0 0.975 - 1.99 1.025 0 0 0 0 0 0 0 0.97 - 1.99 1.03 0 0 0 0 0 0 0 0.965 - 1.99 1.035 0 0 0 0 0 0 0 0.96 - 1.99 1.04 0 0 0 0 0 0 0 0.955 - 1.99 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 = - 0.9949 0.0004 0.0009 0.0016 0.0025 0.0036 0.0049 0.0064 0.0081

Meu amigo, ainda bem que não precisamos calcular isso aí em! haha

Resposta

1.005 y 2 - 1.99 y 1 = - 0.9949 1.01 y 3 - 1.99 y 2 + 0.99 y 1 = 0.0004 1.015 y 4 - 1.99 y 3 + 0.985 y 2 = 0.0009 1.02 y 5 - 1.99 y 4 + 0.98 y 3 = 0.0016 1.025 y 6 - 1.99 y 5 + 0.975 y 4 = 0.0025 1.03 y 7 - 1.99 y 6 + 0.97 y 5 = 0.0036 1.035 y 8 - 1.99 y 7 + 0.965 y 6 = 0.0049 1.04 y 9 - 1.99 y 8 + 0.96 y 7 = 0.0064 - 1.99 y 9 + 0.955 y 8 = 0.0081

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