Exercícios Resolvidos de Métodos das Diferenças Finitas

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 365, exemplo 9 adaptado.

Formule, por diferenças finitas, sistemas de equações cuja solução aproxime a solução do seguinte PVC:

y ' ' = y * s e n y + x   y                   y 0 = 1                                                                       y 1 = 5                                                                      

Considere, se necessário, h = 0.25 .

Passo 1

Fala, td blz? Esse vai ser mais tranquilinho. O professor pediu apenas para equacionarmos. Nem vai precisar resolver mesmo o sistema no final.

Já vamos fazer aquela tabelinha iiiiixperta pra ajudar a gente. Vamos precisar dela na hora de montar as equações pra cada i

Bora substituir na EDO as derivadas numéricas.

y ' ' = y * s e n y + x   y

y i + 1 - 2 y i + y i - 1 h 2 =   y i * s e n y i + x i   y i  

Multiplicando os dois lados por h 2

y i + 1 - 2 y i + y i - 1 = h 2 y i * s e n y i + h 2 x i   y i

E juntando os termos semelhantes, temos:

y i + 1 + y i - 2 - h 2 s e n y i - h 2 x i + y i - 1 = 0

y i + 1 - y i [ 2 + h 2 ( s e n y i + x i ) ] + y i - 1 = 0

Substituindo na fórmula o passo h = 0.25

y i + 1 - y i [ 2 + 0.25 2 ( s e n y i + x i ) ] + y i - 1 = 0

Para i = 1 , teremos:

y 2 - y 1 [ 2 + 0.25 2 ( s e n y 1 + x 1 ) ] + y 0 = 0

Mas nós sabemos, direto das condições de contorno, que y 0 = 1 . Então,

y 2 - y 1 2 + 0.25 2 s e n y 1 + 0.25 = - 1

Para i = 2 , teremos:

y 3 - y 2 [ 2 + 0.25 2 ( s e n y 2 + x 2 ) ] + y 1 = 0

y 3 - y 2 [ 2 + 0.25 2 ( s e n y 2 + 0.5 ) ] + y 1 = 0

Para i = 3 , teremos:

y 4 - y 3 [ 2 + 0.25 2 ( s e n y 3 + x 3 ) ] + y 2 = 0

y 4 - y 3 [ 2 + 0.25 2 ( s e n y 3 + 0.75 ) ] + y 2 = 0

Lá da tabela que nós montamos no passo 1 sabemos que y 4 = 5 , podemos dar uma arrumadinha na terceira equação né?!

- y 3 2 + 0.25 2 s e n y 3 + 0.75 + y 2 = - 5

Se você reparar bem, caímos num sisteminha de equações não lineares, mas graças a DEEEUS o professor pediu apenas pra formular. Então..

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Resposta

y 2 - y 1 2 + 0.25 2 s e n y 1 + 0.25 = - 1 y 3 - y 2 2 + 0.25 2 s e n y 2 + 0.5 + y 1 = 0 - y 3 2 + 0.25 2 s e n y 3 + 0.75 + y 2 = - 5

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