Exercícios Resolvidos de Métodos das Diferenças Finitas

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 689, exercício 1

O PVC abaixo

y ' ' = 4 y - x ,       0 ≤ x ≤ 1 y 0 = 0 y 1 = 2

tem como solução y = e 2 e 4 - 1 - 1 e 2 x - e - 2 x + x . Use o método das diferenças finitas para aproximar a solução e compare com a solução real para:

a h = 0.5

b h = 0.25

Passo 1

a Temos o seguinte:

y ' ' = 4 y - 4 x

E teremos n intervalos de modo que:

n = b - a h = 1 0.5 = 2

Então vai ficar assim:

Beleza, agora vamos substituir as derivadas na nossa EDO:

y ' ' = 4 y - 4 x

y i + 1 - 2 y i + y i - 1 h 2 = 4 y i - 4 x i

Multiplicando os dois lados por h 2 :

y i + 1 - 2 y i + y i - 1 = 4 h 2 y i - 4 h 2 x i

Juntando os termos iguais:

y i + 1 + y i - 2 - 4 h 2 + y i - 1 = - 4 h 2 x i

y i + 1 - 3 y i + y i - 1 = - x i

i = 1 :

y 2 - 3 y 1 + y 0 = - x 1

- 3 y 1 = - y 2 - y 0 - x 1

y 1 = 2.5 3

y 1 = 0.83333

Completando nossa tabela:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nessa letra o único valor que estimamos foi y 0.5 ≅ 0.83333 . O valor exato seria:

y = e 2 e 4 - 1 - 1 e 2 x - e - 2 x + x

y 0.5 = 0.824027

Logo, houve um erro de:

E A = 0.83333 - 0.824027 = 0.009306

E R = E A 0.824027 × 100 = 1.13 %

Passo 3

b Agora nosso h mudou para 0.25 , de modo que teremos n intervalos:

n = b - a h = 1 0.25 = 4

Então vai ficar assim:

Pegando nossa EDO pronta para o método lá da letra a :

y i + 1 + y i - 2 - 4 h 2 + y i - 1 = - 0.25 x i

y i + 1 - 2.25 y i + y i - 1 = - 0.25 x i

i = 1 :

y 2 - 2.25 y 1 + y 0 = - 0.25 x 1

y 2 - 2.25 y 1 = - 0.0625

i = 2 :

y 3 - 2.25 y 2 + y 1 = - 0.25 x 2

y 3 - 2.25 y 2 + y 1 = - 0.125

i = 3 :

y 4 - 2.25 y 3 + y 2 = - 0.25 x 3

- 2.25 y 3 + y 2 = - 2.1875

Passo 4

O sistema na forma matricial fica:

- 2.25 1 0 1 - 2.25 1 0 1 - 2.25 y 1 y 2 y 3 = - 0.0625 - 0.125 - 2.1875

Fazendo a Eliminação de Gauss:

- 2.25 1 0 1 - 2.25 1 0 1 - 2.25 - 0.0625 - 0.125 - 2.1875 → L 2 ← L 2 + 0.44444 L 1 - 2.25 1 0 0 - 1.80556 1 0 1 - 2.25 - 0.0625 - 0.15278 - 2.1875 → L 3 ← L 3 + 0.55385 L 2 - 2.25 1 0 0 - 1.80556 1 0 0 - 1.69615 - 0.0625 - 0.15278 - 2.27212

Retrosubstituindo:

y 1 = 0.39512

y 2 = 0.82653

y 3 = 1.33957

Completando a tabelinha já com os valores exatos e com o erro ficamos com:

Resposta

a y 0.5 ≅ 0.83333

E A = 0.009306

E R = 1.13 %

b

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