Exercícios Resolvidos de Métodos das Diferenças Finitas

Lista 7 – Professor Daniel – UFRJ – Questão 6b

Resolva pelo método das Diferenças Finitas, o seguinte problema de valor de contorno com h = 0.2

y ' ' = 3 x y ' - y + x y 0 = 0 y ' 1 = 0

Passo 1

Temos o seguinte:

y ' ' = 3 x y ' - y + x

E teremos n intervalos de modo que:

n = b - a h = 1 0.2 = 5

Então vai ficar assim:

Ué, normalmente a gente tem o y n também né? Que nesse caso é o y 5 . Mas a condição de fronteira que ele deu pra gente foi: y ' 1 = 0 y 5 ' = 0

Normalmente as duas condições são em y x e não em y ' x ! E agora?

Bom, por que não aproximarmos aquela derivada também? A gente aproxima todas as outras mesmo . . .

Só que como a ideia aqui é eliminar uma variável, teríamos que usar a diferença atrasada! Assim:

y i ' y i - y i - 1 h

y 5 ' = 0 y 5 - y 4 h

y 5 y 4

Agora podemos completar nossa tabela:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir as derivadas na nossa EDO:

y ' ' = 3 x y ' - y + x

y i + 1 - 2 y i + y i - 1 h 2 = 3 x i y i + 1 - y i - 1 2 h - y i + x i

Multiplicando os dois lados por h 2 :

y i + 1 - 2 y i + y i - 1 = 3 h 2 x i y i + 1 - y i - 1 - h 2 y i + h 2 x i

Juntando os termos iguais:

y i + 1 1 - 3 h 2 x i + y i - 2 + h 2 + y i - 1 1 + 3 h 2 x i = h 2 x i

1 - 0.3 x i y i + 1 - 1.96 y i + 1 + 0.3 x i y i - 1 = 0.04 x i

i = 1 :

1 - 0.3 x 1 y 2 - 1.96 y 1 + 1 + 0.3 x 1 y 0 = 0.04 x 1

0.94 y 2 - 1.96 y 1 = 0.008

i = 2 :

1 - 0.3 x 2 y 3 - 1.96 y 2 + 1 + 0.3 x 2 y 1 = 0.04 x 2

0.88 y 3 - 1.96 y 2 + 1.12 y 1 = 0.016

i = 3 :

1 - 0.3 x 3 y 4 - 1.96 y 3 + 1 + 0.3 x 3 y 2 = 0.04 x 3

0.82 y 4 - 1.96 y 3 + 1.18 y 2 = 0.0 24

i = 4 :

1 - 0.3 x 4 y 5 - 1.96 y 4 + 1 + 0.3 x 4 y 3 = 0.04 x 4

- 1.2 y 4 + 1.24 y 3 = 0.032

Passo 3

O sistema na forma matricial fica:

- 1.96 0.94 0 0 1.12 - 1.96 0.88 0 0 1.18 - 1.96 0.82 0 0 1.24 - 1.2 y 1 y 2 y 3 y 4 = 0.008 0.016 0.024 0.032

Fazendo a Eliminação de Gauss:

- 1.96 0.94 0 0 1.12 - 1.96 0.88 0 0 1.18 - 1.96 0.82 0 0 1.24 - 1.2 0.008 0.016 0.024 0.032 L 2 L 2 + 0.57143 L 1 - 1.96 0.94 0 0 0 - 1.42286 0.88 0 0 1.18 - 1.96 0.82 0 0 1.24 - 1.2 0.008 0.02057 0.024 0.032 L 3 L 3 + 0.82932 L 2 - 1.96 0.94 0 0 0 - 1.42286 0.88 0 0 0 - 1.23020 0.82 0 0 1.24 - 1.2 0.008 0.02057 0.04106 0.032 L 4 L 4 + 1.00797 L 3 L 3 L 3 + 0.82932 L 2 - 1.96 0.94 0 0 0 - 1.42286 0.88 0 0 0 - 1.23020 0.82 0 0 0 - 0.37347 0.008 0.02057 0.04106 0.07339

Retrosubstituindo:

y 1 = - 0.05977

y 2 = - 0.11611

y 3 = - 0.16436

y 4 = - 0.19650

y 5 = - 0.19650

Resposta

y 0.2 - 0.05977

y 0.4 - 0.11611

y 0.6 - 0.16436

y 0.8 - 0.19650

y 1 - 0.19650

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