Exercícios Resolvidos de Modelagem de EDOs

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Enunciado

Uma cultura de bactérias começa com 500   bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Após 2 horas existem 8000 bactérias na amostra. Em 4 horas serão:

  1. 250000 bactérias
  2. 16000 bactérias
  3. 128000 bactérias
  4. 100000 bactérias
  5. 32000 bactérias

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

A questão deu para gente uma relação entre um valor e a taxa de variação dele. Isso é o mesmo que uma relação entre uma função e a derivada dela, o que é uma equação diferencial!

Então a gente precisa montar uma EDO e resolvê-la usando os dados do enunciado.

Então, sendo a quantidade de bactérias y t ,   após t horas, pelo enunciado a gente tem que:

y 0 = 500 (quantidade inicial)

y 2 = 8000 (quantidade após duas horas)

Com isso a gente consegue achar y 4 . Vem comigo!

Passo 2

Ele diz que a taxa de variação da quantidade de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias. A gente sabe que taxa de variação é dada pela derivada, logo temos que:

d y d t = k y

Onde esse k é uma constante de proporcionalidade, tranquilo?

Passo 3

Essa equação é típica de um problema de modelagem de crescimento populacional. Ela é separável e a solução dela é da forma:

y ( t ) = C e k t

(sim, é bom ter essa solução gravada pra facilitar as coisas😊)

Passo 4

Agora a gente precisa descobrir esse C e esse k .

Vamos usar aquelas informações do enunciado:

y 0 = 500 ,     y 2 = 8000

Usando a primeira informação:

y ( t ) = C e k t

y 0 = C e k ⋅ 0 = 500

C ⋅ e 0 = 500

C ⋅ 1 = 500

C = 500

Show! Já achamos nosso C ! Vamos achar nosso k agora😉

Passo 5

Seguindo na mesma equação:

y ( t ) = C e k t

Só que agora já podemos reescrever como:

y t = 500 e k t

Substituindo a condição:     y 2 = 8000 :

y 2 = 500 e 2 k = 8000

E resolvendo a equação:

500 e 2 k 500 = 8000 500

e 2 k = 16

Pra achar aquele k ali, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados pra eliminar essa exponencial, beleza?

Passo 6

Vamos lá:

ln ⁡ e 2 k = ln ⁡ 16

E olha que legal, com isso aquele e pode sair dali, porque: ln ⁡ e x = x :

2 k = ln ⁡ 16

k = ln ⁡ 16 2

E achamos nosso k ! Nossa equação então é:

y t = 500   e ln ⁡ 16 2   t

Passo 7

Com y t , podemos achar y ( 4 ) , apenas substituindo o t = 4 :

y 4 = 500   e ln ⁡ 16 2   4

= 500   e 2 ln ⁡ 16

Vamos usar umas propriedades de logaritmos para fazer essa conta:

y 4 = 500   e 2 ln ⁡ 16

Esse 2 que está na frente do ln ⁡ 16 pode ir para dentro do ln ⁡ em forma de expoente no 16 , assim:

= 500   e ln ⁡ 16 2

Como isso, poderemos cortar o e com o ln ⁡ novamente. E teremos:

= 500 ⋅ 16 2

= 128000  

Logo, a nossa resposta é a letra c. 😊

Resposta

Letra c