Exercícios Resolvidos de Modelagem de EDOs

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Enunciado

Uma tigela de sopa sai do aparelho de micro-ondas a 80 ℃ e é levada para uma sala onde a temperatura é de 25 ℃ . A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. Sabemos também que esta sopa esfria a uma taxa de 1 ℃ por minuto quando sua temperatura é de 60 ℃ :

Escreva a equação diferencial que expressa a lei de resfriamento de Newton nesta situação particular.

Passo 1

E aí, tudo joia?

a) Vamos com calma, você não precisa saber a lei de resfriamento de Newton. Vamos encontra-la através do Cálculo! Repara que ele explicou direitinho como é essa lei né? Vamos entender bem essa parada.

Primeiro vamos fazer y t sendo a temperatura em do objeto.

y t = T o b j e t o

Esse t vai ser o tempo, repara que o enunciado nos dá a taxa em por minuto, assim vamos fazer t em minutos para facilitar nossa vida.

Além disso, ele disse que a lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. “Taxa de resfriamento” quer dizer a taxa que a temperatura varia, ou seja, a derivada de y t . Assim:

y ' t = k y t - T v i z i n h a n ç a

Esse k que colocamos aí, é justamente porque ele disse que é proporcional, então ele é nossa constante de proporcionalidade.

Passo 2

Continuando...

No enunciado ele diz que a temperatura na vizinhança (aqui é a temperatura da sala) vai ser:

T v i z i n h a n ç a = 25 ℃

Substituindo ali, vamos ter a seguinte EDO para achar y :

y ' t = k y t - 25

Passo 3

Você pode olhar e achar que está certinha essa EDO né? Mas temos um k ali. Precisamos achar o seu valor. Repara que ele diz no enunciado que

“esta sopa esfria a uma taxa de 1 ℃ por minuto quando sua temperatura é de 60 ℃ :”

Isso nos diz que

y ' t = - 1 ℃ / m i n

y t = 60 ℃

A taxa vai ser - 1 porque a temperatura está diminuindo. Então vamos substituir essas informações:

y ' t = k y t - 25

- 1 = k 60 - 25

Agora temos uma equação, e basta isolarmos o k :

- 1 = 35 k

k = - 1 35   m i n - 1

Show, achamos o valor da constante de proporcionalidade. Agora vamos reescrever nossa EDO:

y ' t = - y t - 25 35

Prontinho! 😊

Resposta

y ' t = - y t - 25 35