Exercícios Resolvidos de Modelagem de EDOs

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Enunciado

Um trenó foguete com velocidade inicial de 150 milhas/h (cerca de 241km/h) tem sua velocidade diminuída por um canal de água. Suponha que durante o processo de freagem a aceleração a é dada por a v = - μ v 2 , onde v é a velocidade e μ é uma constante.

  1. Use a relação d v d t = v ( d v d x ) para escrever a equação de movimento em função de v e de x .
  2. Se é necessária uma distância de 2000 pés (cerca de 609.6m = 0,6096 km) para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h (cerca de 24,1 km/h), determine o valor de μ .
  3. Encontre o tempo τ necessário para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h.

Passo 1

Opa! Vamos ver mais essa aqui?

  1. No item (a), ele quer que a gente escreva a equação diferencial em função de v e x . Vamos botar a mão na massa.
  2. Sabemos que:

    d v d t = a t = - μ v 2

    Substuindo aqui:

    d v d t = v d v d x

    d v d t = v d v d x = - μ v 2

    d v d x = - μ v

    Essa é a equação de movimento! E essa EDO é de que tipo? Acertou se falou separável!

    Passo 2

  3. Pra acharmos o valor de μ a partir da distância temos que resolver a equação separável que encontramos na letra a.

Primeiro vamos escrevê-la da forma separável:

d v = - μ v   d x

d v v = - μ d x

Agora integramos dos dois lados:

∫ d v v = ∫ - μ d x

Passo 2

Resolvendo...

∫ d v v = ln ⁡ v

∫ - μ d x = - μ x

ln ⁡ v = - μ x + C

Onde C é uma constante que a gente adiciona por estarmos lidando com integrais indefinidas.

Aplicando exponencial dos dois lados:

e ln ⁡ v = e - μ x + C

v = e - μ x + C

Trocando a constante e - C por uma outra constante A .

v ( x ) = A e - μ x

Passo 3

Para acharmos os valores de A e de μ temos que usar as informações iniciais que ele nos dá:

v 0 = 241   k m / h

e

v 0.6096 = 24,1   k m / h

Substituindo:

v 0 = A e - μ * 0 = 241

A = 241   k m / h

v 0.6096 = 241 e - 0.6096 μ

241 e - 0.6096 μ = 24,1

e - 0.6096 μ = 1 10

Aplicando logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ e - 0.6096 μ = ln ⁡ 1 10

Podemos cortar o ln ⁡ e o e , fincando com:

- 0.6096 μ = ln ⁡ 1 10

Usando uma calculadora esperta, vamos achar:

μ = - 1 0.6096 ln ⁡ 1 10 ≅ 3.777 k m - 1

Passo 4

c) Para resolvermos essa letra temos que resolver:

d v d t = - μ v 2

Porquê? Porque ele quer relacionar velocidade e tempo e não velocidade e espaço como nos outros itens!

Escrevendo naquele formato característico de resolver equação separável e integrando de ambos os lados:

d v = - μ   v 2 d t

d v v 2 = - μ   d t

∫ d v v 2 = ∫ - μ d t

Resolvendo cada uma das integrais, teremos:

∫ d v v 2 = - 1 v

∫ - μ d t = - μ t

Igualando de novo:

- 1 v = - μ t + D

Onde D é uma constante.

Passo 5

Vamos substituir o valor da velocidade inicial, v 0 = 241   k m / h para achar D .

- 1 v = - μ t + D

- 1 241 = - μ * 0 + D

D = - 1 241  

Assim teremos:

- 1 v = - μ t + D

- 1 v = - μ t + - 1 241

- 1 v = - 241 μ t 241 - 1 241

v t = 241 241 μ t + 1 ,     μ = 3.777 k m - 1

Passo 6

Calculando τ tal que v τ = 24,1   k m / h

v τ = 241 241 μ τ + 1 = 24,1      

241 = 241 μ τ + 1 24,1  

241 24,1 = 241 μ τ + 1

10 = 241 μ τ + 1

10 - 1 = 241 μ τ  

τ = 9 241 μ = 0.009887   h

Transformando em segundos...

= 35.594 s

Esse é o tempo necessário😊

Resposta

a) d v d x = - μ v

b)

μ = - 3.777 k m - 1

c)

τ = 35.594 s