Exercícios Resolvidos de Modelagem de EDOs

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Enunciado

Dois compostos químicos A e B são combinados para formar um terceiro composto C . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de A e B não convertida em C .

Inicialmente há 40 gramas de A e 50 gramas de B , e para cada grama de A ,   2 gramas de B são usados. É observado que 10 gramas de C são formados em 5 minutos. Qual é a quantidade remanescente de A e B depois de um longo período de tempo?

Passo 1

Olá, tudo bem?

Pra resolvermos essa questão, temos primeiro que chegar na equação da variação de C com o tempo.

Para isso temos que resolver uma equação separável que usada em problemas de misturas.

Montaremos nossa fórmula a partir da quantidade inicial dos reagentes ( A   e   B ) , que foi consumida pra formar o produto ( C ) . A reação nos diz que precisamos do dobro de B para cada quantidade de A :

A + B = C A = 2 B

Escrevendo A   e   B em função de C , teremos:

A = 2 3 C ,     B = 1 3 C

Passo 2

A quantidade de A   e   B não convertida em C , é dada por:

A - 2 3 C B - 1 3 C

E temos que a taxa de variação é proporcional a isso, então:

d C d t = k A - 2 3 C B - 1 3 C

Como inicialmente temos A = 40   e   B = 50 , substituímos:

d C d t = k 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C

Passo 3

Vamos escrever essa equação naquele formato de resolução de equação separável que já estamos acostumados, colocando tudo que tem C para a esquerda e o que tem t para a direita:

d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = k d t

Integrando o lado esquerdo, vamos utilizar aquele método das frações parciais.

1 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = A 50 - 1 3 C + B 40 - 2 3 C

1 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = A 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C + B 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Cortando os denominadores e fazendo a distributiva:

1 = 40 A - 2 A C 3 + 50 B - B C 3

0 C + 1 = - 2 A C 3 - B C 3 C + 40 A + 50 B

Passo 4

Igualando os coeficientes correspondentes:

Disso obtemos o sistema.

1 = 40 A + 50 B

0 = 2 A + B

Da segunda temos:

B = - 2 A

Substituindo na primeira:

1 = 40 A + 50 ( - 2 A )

1 = 40 A - 100 A

A = - 1 60

E então temos:

B = - 2 - 1 60

B = 1 30

Passo 5

Substituimos os valores encontrados de A e B , e partiremos para a integral:

∫ d C 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = ∫ - 1 60 50 - 1 3 C d C + ∫ 1 30 40 - 2 3 C d C

Para resolver essa primeira integral do lado direito, podemos pensar em uma mudança de variável...

∫ - 1 60 50 - 1 3 C d C =   - 1 60 ∫ 1 50 - 1 3 C d C

50 - 1 3 C = x      

d x = - 1 3 d C         o u         d C = - 3 d x

Substituindo:

- 1 60 ∫ - 3 d x x

= 3 60 ∫ d x x

= 1 20 ln ⁡ x

E voltando para C :

= 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C

Passo 6

A segunda agora:

∫ 1 30 40 - 2 3 C d C = 1 30 ∫ 1 40 - 2 3 C   d C

Da mesma forma, aqui podemos fazer a substituição:

40 - 2 3 C = x      

d x = - 2 3 d C         o u         d C = - 3 2 d x

Substuindo:

1 30 ∫ - 3 2 d x x

= 1 30 ⋅ - 3 2 ∫ d x x

=   - 3 60 ln ⁡ x

Voltando para C :

=   - 1 20 ln ⁡ 40 - 2 3 C

Passo 7

Juntando as duas agora:

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C - 1 20 ln ⁡ 40 - 2 3 C

Usando a propriedade da subtração de logaritmo:

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Passo 8

Integrando o lado direito:

∫ k d t = k t + D

Igualando os dois lados da equação vamos ter:

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = ∫ k d t

1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C = k t + D

ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C = 20 k t + 20 D

Aplicando logaritmo dos dois lados:

e 20 k t + D = 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Passo 9

Vamos juntar as frações ali em cima:

50 - 1 3 C

= 150 3 - 1 3 C

= 150 - C 3

e

40 - 2 3 C

= 120 3 - 2 3 C

= 120 - 2 C 3

Substituindo:

e 20 k t + D = 150 - C 3 120 - 2 C 3

Cortando os 3 nos denominadores:

e 20 k t + D = 150 - C 120 - 2 C

Isolando o C agora:

C = 120 e 20 k t + D - 150   2 e 20 k t + D - 1  

Trocando e 20 D por uma nova contante E para facilitar os cálculos

C = 120 E e 20 k t - 150   2 E e 20 k t - 1

Passo 10

No problema ele diz que após 5 minutos são formados 10 gramas de C e devemos assumir também que no tempo inicial a quantidade de C é zero. Logo:

C 0 = 1 20 E e 20 k * 0 - 150   2 E e 20 k * 0 - 1 = 120 E - 150 2 E - 1 = 0

120 E - 150 = 0

120 E = 150

E = 150 120 = 5 4

Substituindo, temos:

C = 150 e 20 k t - 150   5 2 e 20 k t - 1

Passo 11

Como C 5 = 10 :

C = 150 e 100 k - 150   5 2 e 100 k - 1 = 10

25 e 100 k - 10 = 150 e 100 k - 150

140 = 125 e 100 k

ln ⁡ 140 = ln ⁡ 125 e 100 k

ln ⁡ 140   = ln ⁡ 125 + ln ⁡ e 100 k

ln ⁡ 140 = ln ⁡ 125 + 100 k

k = ln ⁡ 140 - ln ⁡ 125 100

k ≅ 0,0011 ≅ 0

Passo 12

Sabemos que a quantidade de B e A para um t tendendo ao infinito será dada pela expressão abaixo.

B = 50 - 1 3 C

A = 40 - 2 3 C

Calculemos o limite de C quando t tende ao infinito, sendo C = 150 e 100 k - 150   5 2 e 100 k - 1 :

lim t → ∞ ⁡ 150 e 20 k t - 150   5 2 e 20 k t - 1 = ∞ ∞

Aplicando a regra de L’Hospital

lim t → ∞ ⁡ C = lim t → ∞ ⁡ 3000 e 20 k t   50 e 20 k t = lim t → ∞ ⁡ 3000   50 = 60

Substituindo o valor nas expressões que temos.

B = 50 - 1 3 * 60 = 30

A = 40 - 2 3 * 60 = 0

E finalmente acabamos!

Resposta

B = 30 ,             A = 0