Suponha que a taxa de crescimento de uma certa população varia com o tempo, e que o número de indivíduos da mesma no instante satisfaz a equação diferencial:
i) Se encontre (ou estime) o instante no qual a população dobra.
Determine se o tempo no qual o número de indivíduos dobra dependa da população inicial.
ii) Suponha que a parcela na equação diferencial é substituída por , isto é, a variação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente maior. Qual é o efeito dessa mudança no tempo de duplicação da população?
Passo 1
E aí, tudo bem? Vamos começar a resolver essa questão pelo item i).
Bom, a gente tem essa EDO aqui:
Essa EDO é separável, já que a gente pode jogar tudo que é para um lado e o que é para o outro, ficando com:
Passo 2
Vamos começar reescrevendo essas divisões:
E nessa parte aqui:
Podemos separar:
Jogando para fração temos:
E aí ficamos com:
Passo 3
Integrando os dois lados:
Para deixar o sozinho, podemos aplicando exponencial dos dois lados da equação:
Assim podemos cortar o com o , ficando com:
Como no lado direito temos o expoente com somas e uma das parcelas é a constante . Podemos abrir esses expoente em uma multiplicação de potências de bases iguais.
E é uma constante. Então ficaremos com:
Considerando o :
E prontinho! Essa é a solução geral da EDO😊
Passo 4
Agora vamos atrás de descobrir o valor de . Como a condição inicial é , vamos substituir:
Como , podemos tirar o :
Agora que já sabemos que , vamos colocar isso lá na nossa solução geral:
Passo 5
O instante no qual a população dobra é dado por
Então, aplicando logaritmo dos dois lados:
Multiplicando tudo por :
Essa é uma equação de segundo grau, então vamos escrevê-la na forma:
Passo 6
Pra resolver essa equação, vamos aplicar a fórmula de Bháskara:
Onde aqui a gente tem:
Substituindo:
Pegando só a raiz positiva já que não faz sentido termos um tempo negativo, ficamos com:
Que representa o tempo no qual a população dobra.
Passo 7
Suponha que a população inicial é dada por
Então, se é o tempo que a população dobra, teremos:
O que implica que
Portanto, não depende de .
Passo 8
ii) Ao fazer a substituição temos que
Como já vimos na anterior:
E o tempo de duplicação fica:
Portanto aumentando a variação na taxa de crescimento para , o tempo de duplicação diminui.
Resposta
i)
Não depende de .
ii) O tempo de duplicação diminui.