Exercícios Resolvidos de Modelagem de EDOs

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Enunciado

A reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) , no ponto ( x , y ) , intercepta o eixo y no ponto de ordenada x y . Determine f sabendo que f 1 = 1 .

Passo 1

Opa, reta tangente aqui também? Pois é, ela está sempre presente haha...

Vamos lá, primeiro vamos interpretar o enunciado. Nesse caso, ele fala da reta tangente. A equação da reta tangente, é dessa forma aqui, tá lembrado?

y - y 0 = m x - x 0

Com a inclinação da reta igual a m e essa reta passando pelo ponto x 0 , y 0 .

Mas calma, nós sabemos a inclinação da reta tangente, não é mesmo?

Assim:

m =   y '

Agora vamos identificar o ponto x 0 , y 0 .

Passo 2

Ele fala que essa reta intercepta o eixo y no ponto x y , então podemos escrever:

x 0 = 0 y 0 = x y

Certo?

Agora basta substituir na equação da reta tangente para resolvermos a EDO.

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

y - x y = y ' ( x - 0 )

y - x y = y ' x

Essa é uma EDO separável, então vamos separar a equação e resolver.

y - x y = y ' x

y ' = y - x y x

y ' = y 1 - x x

Passo 4

Então:

1 y y ' = 1 - x x

Assim, podemos escrever:

1 y d y = 1 - x x d x

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ 1 - x x d x

Passo 5

A primeira integral:

∫ 1 y   d y = ln ⁡ | y |

E a segunda...

∫ 1 - x x d x

= ∫ 1 x - x x   d x

= ∫ 1 x - 1   d x

= ln ⁡ | x | - x + c

Assim: ∫ 1 y d y = ∫ 1 - x x d x

ln ⁡ | y | = ln ⁡ | x | - x + c

Passo 6

Vamos isolar o y agora, aplicando exponencial dos dois lados:

e ln ⁡ y = e ln ⁡ x - x + c

y = e ln ⁡ x ⋅ e c - x

y = x ⋅ e c - x

Beleza! Encontramos nossa solução geral aqui!

Passo 7

Agora vamos encontrar o valor da constante C , pois sabemos que:

f 1 = 1

Então, substituindo aqui:

y = x ⋅ e c - x

Temos:

1 = 1 ⋅ e c - 1

ln ⁡ 1 = ln ⁡ e c - 1

0 = c - 1

Logo:

c = 1

Substituindo o valor de c em y = x ⋅ e c - x :

y = x e 1 - x

Essa é a nossa reta y = f ( x ) então:

f x = x e 1 - x

Prontinho😊

Resposta

y = f x = x e 1 - x