Exercícios Resolvidos de Modelagem de EDOs

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Enunciado

Suponha que uma gota d’água esférica evapore a taxa proporcional à área de sua superfície. Se o raio mede originalmente 3 mm e 1 h depois foi reduzido a 2 mm, encontre a expressão do raio em função do tempo.

Passo 1

Opa! Vamos ver mais esse probleminha aqui!

A gota d’água evapora a uma taxa proporcional a área da superfície. Então, podemos representar a área da superfície pela relação

A t = A 0 ⋅ k t

Em que A 0 é a área da superfície no instante inicial e k é a constante de proporcionalidade a determinar.

Passo 2

Vamos começar com A 0 , de forma geral, a área da superfície de uma esfera é dada pela expressão

A = 4 π R 2

Como no caso o raio inicial é 3 mm, então:

A 0 = 4 π ⋅ 3 2 = 36 π   m m 2

Passo 3

Agora vamos para k usando os dados do problema. Considerando t em horas, para t = 1 h, o raio da gota vai ter reduzido para R = 2 mm, então temos:

A 1 = 36 π ⋅ k 1

Sendo:

A 1 = 4 π 2 2 = 16 π   m m 2

Assim, igualando as duas: 36 π k = 16 π

k = 16 π 36 π

Simplificando:

k = 4 9

E nossa expressão para área será:

A t = A 0 ⋅ k t

A t = 36 π ⋅ 4 9 t

Passo 4

Legal, encontramos a expressão para área, mas o problema quer saber do raio. Substituímos a relação, então: A t = 36 π ⋅ 4 9 t  

4 π R 2 = 36 π ⋅ 4 9 t  

Isolando o raio, teremos: R 2 = 9 4 9 t

Jogamos o quadrado para o lado direito em forma de raiz e tiramos a raiz de todos os valores:

R = 3 ⋅ 2 3 t

Prontinho! Essa é a expressão do raio em função do tempo😊

Resposta

R = 3 ⋅ 2 3 t