Exercícios Resolvidos de Modelagem de EDOs

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Enunciado

Suponha que no instante t = 0 , a metade de uma população de 100.000 coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de 1000 coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por 80 % da população.

Passo 1

Opa! Tudo bem? Vamos começa entendendo esse problema...

Chamemos de Q ( t ) a quantidade de coelhos infectados e P = 100.000 a população total de coelhos.

A quantidade de coelhos não infectados então é: P - Q .

A taxa com que o vírus se espalha é a taxa com que coelhos são infectados, e como ela é proporcional à quantidade de coelhos infectados ( Q ) , vezes a quantidade de coelhos não infectados ( P - Q ) , temos:

Q ' ( t ) = k Q ( P - Q )

Onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 2

O problema diz que a taxa inicial é 1000 coelhos por dia. Sempre que falarmos de início, é em t = 0 , beleza?

Então:

Q ' 0 = 1000

E também diz que metade da população está infectada inicialmente.

Então:

Q 0 = P 2

Com essas informações temos um PVI:

Q ' t = k Q P - Q   Q ' 0 = 1000   Q 0 = P 2 = 50.000

Passo 3

Queremos descobrir o tempo T para o qual:

Q T = 0,8 P

Ou seja, em que tempo a quantidade de coelhos infectados é igual a 80 % da população total.

Como Q ' ( 0 ) e Q ( 0 ) são conhecidos, podemos calcular a constante k substituindo seus valores na EDO:

Q ' 0 = 1000     e   Q 0 = 50.000

Q ' t = k Q P - Q

Substituindo:

Q ' 0 = k ⋅ Q 0 ⋅ P - Q 0

1000 = k ⋅ 50.000 ⋅ 100.000 - 50.000

1000 = k ⋅ 50.000 ⋅ 50.000

1000 = 2.500.000.000 k

1 = 2.500.000 k

k = 0,0000004

k = 4 ⋅ 10 - 7

Passo 4

Vamos agora encontrar a solução geral.

Colocando a derivada na forma d Q d t em vez de Q ' ( t ) e escrevendo apenas Q em vez de Q ( t ) ficamos com:

d Q d t = k Q ( P - Q )

Está ficando com uma carinha de EDO separável, não é mesmo. Vamos multiplicar cruzado:

d Q = k Q P - Q   d t

Separar tudo que tem t para o lado do d t e tudo que tem Q para o lado do d Q :

d Q Q P - Q = k   d t

E assim chegamos a nossa EDO separável! Agora é partir pra solução dela.

Passo 5

Integrando os dois lados:

∫ d Q Q P - Q = ∫ k   d t

Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:

1 Q P - Q = A Q + B P - Q

1 Q P - Q = A ( P - Q ) + B Q Q ( P - Q )

1 = A P - Q + B Q

1 = A P - A Q + B Q

1 = Q - A + B + A P

Pra isso ser uma igualdade verdadeira, precisamos que:

- A + B = 0     ( t e r m o   c o m   Q )   A P = 1   ( t e r m o   i n d e p e n d e n t e )

Passo 6

Daí, tiramos que:

A P = 1

A = 1 P

- A + B = 0

- 1 P + B = 0 → B = 1 P

Substituindo:

1 Q ( P - Q ) = 1 P Q + 1 P P - Q

⇒ 1 Q ( P - Q ) = 1 P 1 Q + 1 P - Q

Logo:

  ∫ d Q Q ( P - Q ) = ∫ 1 P 1 Q + 1 P - Q d Q = 1 P ∫ d Q Q + ∫ d Q P - Q

Passo 7

Substituindo na nossa equação lá de cima:

1 P ∫ d Q Q + ∫ d Q P - Q = ∫ k   d t

∫ d Q Q + ∫ d Q P - Q = P ∫ k   d t

A primeira e a última integral são tranquilas:

ln ⁡ Q + ∫ d Q P - Q = P k t + c

Nessa integral daí, podemos resolver por uma mudança de variável:

P - Q = x

Derivando (levando em consideração que P é constante) temos:

d x = - d Q           o u           d Q = - d x

Logo...

ln ⁡ Q + ∫ - d x x = P k t + c  

ln ⁡ Q - ln ⁡ x = P k t + c  

Como x = P - Q ...

ln ⁡ Q - ln ⁡ P - Q = P k t + c

Passo 8

Queremos isolar Q ( t ) :

Como apareceu um ln ⁡   , vamos aplicar a exponencial nos dois lados:

e ln ⁡ Q P - Q = e P k t + c

Q P - Q = e c ⋅ e P k t

Q P - Q = ± e c ⋅ e P k t

Substituindo a = ± e c , já que ambos são constantes...

Q P - Q = a e P k t

Multiplica cruzado:

Q = a P e P k t - a Q e P k t

Q 1 + a e P k t = a P e P k t

Q t = a P e P k t 1 + a e P k t

Ufaa! Isolamos Q ( t ) !

Passo 9

Vamos resolver o PVI agora, usando:

Q 0 = P 2

Substituindo t = 0 na solução geral:

Q ( 0 ) = a P e 0 1 + a e 0

Q 0 = a P 1 + a

Substituindo condição inicial:

P 2 = a P 1 + a

a 1 + a = 1 2

(Multiplica cruzado:)

2 a = 1 + a

a = 1

Substituindo valor da constante na solução geral:

Q t = P e P k t 1 + e P k t

Passo 10

Agora vamos encontrar T tal que Q T = 0,8 P :

Basta substituir Q = 0,8 P para encontrar T correspondente:

Q T = P e P k T 1 + e P k T = 0,8 P

⇒ e P k T 1 + e P k T = 0,8

e P k T = 0,8 + 0,8 e P k T

0,2 e P k T = 0,8

e P k T = 4

Aplicando logaritmo dos dois lados:

P k T = ln ⁡ 4

Substituindo valores de P e k que achamos ali em cima:

100000 ⋅ 4 ⋅ 10 - 7 ⋅ T = ln ⁡ 4

⇒ T = 25 ln ⁡ 4 ≈ 34,66   d i a s

Então em aproximadamente 35 dias o vírus terá se espalhado por 80 % da população.

Resposta

T = 25 ln ⁡ 4 ≈ 34,66