Exercícios Resolvidos de Momentos em Duas Dimensões

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 33-2/29

A força F → de 10   k N é aplicada no ponto A . a ) Calcule o momento de F → em relação ao ponto O . b ) Determine os pontos nos eixos x e y em relação aos quais o momento de F → vale zero.

Passo 1

Vamos começar decompondo a força nos eixo x e y . Para isso temos que achar o ângulo de inclinação dessa força:

t g   θ = 4 3       →           θ = a r c t g 4 3

θ = 53 °

Agora podemos decompor a nossa força F → :

F → x = 10 s e n   53 °       →         F → x = 8   k N

F → y = - 10 c o s   53 °       →           F → y = - 6   k N

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Passo 2

Agora vamos calcular o momento com relação ao ponto O para cada uma das componentes separadamente. Vamos começar pela componente em x :

A distância d perpendicular à linha de ação da força F → x até o ponto O é:

d = 5   m

Então, o módulo do momento de F → x com relação ao ponto O é dado pelo módulo da força e a distância:

M x = F x d       →           M x = 8 × 5    

M x = 40   k N m

E para saber o sinal, temos que analisar...

Repare que a força F → x gira no sentido horário em torno do ponto O , então ela será negativa pela nossa convenção de sinais:

M x = - 40   k N m

E a componente em y ?

O módulo do momento desta força será:

M y = F y d       →           M y = 6 × 4    

M y = 24   k N m

E esse momento será positivo ou negativo? Repare que a força tende a girar em torno do ponto O no sentido anti-horário, logo ela será positiva.

M y = 24 k N m

O momento total em relação ao ponto O será igual a soma do momento que cada componente faz:

M O = M x + M y       →           M O = - 40 + 24

M O = - 16   k N m

Ou seja, como esse valor deu negativo, o nosso momento total está no sentido anti-horário!

Passo 3

Agora temos que ver onde nos eixos x e y o momento será zero. Pessoal, momento não é calculado como força vezes distância?

M = F × d

Então é só acharmos os pontos onda a distância da linha de ação da força ao eixo é zero!

Isso ocorre onde a linha de ação da força cruza esses eixos:

Repare que agora vamos utilizar a linha de ação da força   F → e não mais apenas de suas componentes F x e F y .

Então, vamos usar semelhança de triângulos para obter esses valores. Vamos começar pelo eixo x :

Vamos fazer a semelhança entre esses dois triângulos aqui:

5 4 + a = 3 4         →           4 + a = 20 3

a = 2,67   m

Então, a coordenada fica:

2,67 ; 0   m

Ou seja

x = a = 2,67   m

Vamos fazer outra semelhança de triângulos para achar o ponto onde intercepta o eixo y :

Vamos ter os seguintes triângulos:

b 4 = 3 4         →           b = 3   m

Então, a coordenada fica:

0,2   m

Repare que para achar esse valor também poderíamos ter feito a semelhança de triângulos usando 2,67. Ficaria assim:

3 4 = y 2,67

4 y = 8,01

y = 2

Ou seja,

y = 5 - b = 5 - 3 = 2   m

Resposta

a )   M O = - 16   k N m →   n o   s e n t i d o   h o r á r i o

b )   2,67 ; 0   m   e   0,2   m

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