Exercícios Resolvidos de Movimento curvilíneo

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 34, 2/63

Uma partícula que se desloca em movimento bidimensional tem coordenadas em milímetros dadas por x = t 2 - 4 t + 20 e y = 3   s e n   2 t , onde t é o tempo em segundos. Determine os módulos da velocidade v e a aceleração a e o ângulo θ entre estes dois vetores no instante t = 3   s .

Passo 1

O vetor deslocamento é dado por:

r = t 2 - 4 t + 20 i ^ + 3 s e n 2 t j ^

Sabendo que a velocidade é a derivada da posição no tempo, temos que:

v = d r d t = 2 t - 4 i ^ + 6 cos 2 t j ^

E a aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo:

a = d v d t = 2 i ^ - 12 s e n 2 t j ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para t = 3 s , vamos ter que:

v 3 = 2 ( 3 ) - 4 i ^ + 6 cos 2 3 j ^ = 2 i ^ + 5,76 j ^

E:

a ( 3 ) = 2 i ^ - 12 s e n 2 × 3 j ^ = 2 i ^ + 3,35 j ^

Assim:

v 3 = 2 2 + 5,76 2 = 6,09   m m / s

E:

a 3 = 2 2 + 3,35 2 = 3,90   m m / s 2

Passo 3

Assim, o ângulo será:

c o s θ = v 3 . a 3 a 3 . v 3 = 2 i ^ + 5,76 j ^ . 2 i ^ + 3,35 j ^ 3,90 . 6,09

c o s θ = 4 + 19,30 23,75 = 0,98

Assim:

θ = cos - 1 0,98 = 11,18 °

Observação:

Quando você for calcular o valor de s e n ( 2 t ) , o valor que 2 t estará em radianos. Mas perceba que no final, quando usamos a função c o s - 1 , retornamos um valor em graus. Enfim, são apenas ajustes na calculadora!

Resposta

v 3 = 6,09   m m / s

a 3 = 3,90   m m / s 2

θ = 11,18 °

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