Exercícios Resolvidos de Movimento curvilíneo

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 34, 2/62

Uma partícula que se move em um movimento curvilíneo tem coordenadas em milímetros que variam com o tempo t em segundos de acordo com x = 3 t 2 - 4 t e y = 4 t 2 - 1 3 t 3 . Determine os módulos da velocidade v → e aceleração a → e os ângulos que estes vetores fazem com o eixo x quando t = 2   s .

Passo 1

O vetor deslocamento r → é dado por:

r → = 3 t 2 - 4 t   i ^ + ( 4 t 2 - 1 3 t 3 ) j ^

Sabendo que a velocidade é a derivada da posição no tempo, temos que:

v → = d r → d t = 6 t - 4 i ^ + 8 t - t 2 j ^

E a aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo:

a → = d v → d t = 6 i ^ + ( 8 - 2 t ) j ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para t = 2   s , vamos ter que:

v → 2 = 6 ( 2 ) - 4 i ^ + 8 ( 2 ) - ( 2 ) 2 j ^

v → 2 = 12 - 4 i ^ + 16 - 2 j ^

v → 2 = 8 i ^ + 12 j ^   m m / s

E a aceleração fica:

a → ( 2 ) = 6 i ^ + 8 - 2 ( 2 ) j ^

a → 2 = 6 i ^ + 4 j ^   m m / s 2

Passo 3

O módulo do vetor velocidade vai ser:

v → 2 = 8 2 + 12 2 = 14,42   m m / s

E o módulo do vetor aceleração é:

a → 2 = 6 2 + 4 2 = 7,21   m m / s 2

Passo 4

Assim, o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x é:

θ x = tg - 1 ⁡ v y v x       →         θ x = tg - 1 ⁡ 12 8

θ x = 56,3 °

Passo 5

E o ângulo que o vetor aceleração faz com o eixo x é:

θ x = tg - 1 ⁡ a y a x       →         θ x = tg - 1 ⁡ 4 6

θ x = 33,7 °

Resposta

v → = 14,42   m m / s         e             θ x = 56,3 °

a → = 7,21   m m / s 2           e             θ x = 33,7 °

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