Exercícios Resolvidos de Movimento curvilíneo

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 34, 2/67

O vetor posição de um ponto que se move no plano x y é dado por:

r = 2 3 t 3 - 3 2 t 2 i ^ + t 4 12 j ^

Onde r é expresso em metros e t é expresso em segundos. Determine o ângulo entre a velocidade v → e a aceleração a → quando a t = 2   s e b t = 3   s .

Passo 1

Vamos calcular a velocidade derivando o vetor:

v → = d r → d t = 2 t 2 - 3 t i ^ + t 3 3 j ^

E para achar a aceleração é só derivarmos de novo:

a → = d v → d t = 4 t - 3 i ^ + t 2 j ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para t = 2 s :

v → 2 = 2 ( 2 2 ) - 3 ( 2 ) i ^ + 2 3 3 j ^ = 2 i ^ + 8 3 j ^

E:

a → 2 = 4 ( 2 ) - 3 i ^ + 2 2 j ^ = 5 i ^ + 4 j ^

Para calcular o ângulo entre eles, temos que achar o módulo destes vetores:

v → = 2 2 + 8 3 2

a → = 5 2 + 4 2

Assim:

c o s θ = v → . a → v → . a → = 2 i ^ + 8 3 j ^ . 5 i ^ + 4 j ^ 2 2 + 8 3 2 5 2 + 4 2

c o s θ = 10 + 32 3 2 2 + 8 3 2 5 2 + 4 2

c o s θ = 62 3 3,33 . 6,4 = 0,97

Assim:

θ = cos - 1 ⁡ 0,97 = 14,47 °

Passo 3

E para t = 3   s , vamos ter que:

v → 3 = 2 ( 3 2 ) - 3 ( 3 ) i ^ + 3 3 3 j ^ = 9 i ^ + 9 j ^

E a aceleração:

a → 3 = 4 ( 3 ) - 3 i ^ + 3 2 j ^ = 9 i ^ + 9 j ^  

Opa!

Nesse caso, nem precisamos fazer contas. Perceba que os vetores tem a mesma direção, sendo assim, são paralelos. Então, o ângulo entre eles vai ser zero:

θ = 0

Resposta

a )   14,47 °

b ) 0 °

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