Exercícios Resolvidos de Movimento curvilíneo

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 39, 2/97

Um projétil é lançado em um fluido experimental no instante t = 0 . A velocidade inicial é v 0 e o ângulo com a horizontal é θ . O arrasto sobre o projétil resulta em um termo de aceleração a D = - k v → , onde k é a constante e v → é a velocidade do projétil. Determine as componentes x e y da velocidade e do deslocamento como funções do tempo. Qual é a velocidade final? Inclua os efeitos da aceleração gravitacional.

Passo 1

Considerando a aceleração da gravidade, temos a seguinte aceleração total:

a → = - k v → - g j ^ = a x i ^ + a y j ^

Onde:

v → = v x i ^ + v y j ^

Assim:

a → = - k v x i ^ + v y j ^ - g j ^

a → = - k v x i ^ + j ^ ( - k v y - g )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a → = - k v x i ^ + j ^ ( - k v y - g )

Assim:

- k v x i ^ + j ^ - k v y - g = a x i ^ + a y j ^

Só que:

a x = d v x d t

Assim:

d v x d t = - k v x → d v x v x = - k d t → ∫ d v x v x = ∫ - k d t

ln ⁡ v x = - k t → v x = v x 0 e - k t

Só que:

v x 0 = v 0 c o s θ

Assim:

v x = v 0 c o s θ e - k t

E:

d x t d t = v 0 c o s θ e - k t → x t = ∫ v 0 c o s θ e - k t = v 0 c o s θ k 1 - e - k t

Passo 3

Em y :

a y = d v y d t = - k v y - g

∴  

∫ d v y - k v y - g = ∫ d t

v y = v y 0 + g k e - k t - g k = v 0 s e n θ + g k e - k t - g k

Assim:

d y d t = v 0 s e n θ + g k e - k t - g k → y t = ∫ v 0 s e n θ + g k e - k t - g k

y t = 1 k v 0 s e n θ + g k 1 - e - k t - g k t

Passo 4

Com as componentes da velocidade:

v x = v 0 c o s θ e - k t

v y = v 0 s e n θ + g k e - k t - g k

Vamos calcular a velocidade terminal do móvel, para t tendendo a infinito:

v x → 0

v y → - g k

v → T e r m i n a l = - g k j ^

Resposta

v x = v 0 c o s θ e - k t

v y = v 0 s e n θ + g k e - k t - g k

x t = v 0 c o s θ k 1 - e - k t

y t = 1 k v 0 s e n θ + g k 1 - e - k t - g k t

v → T e r m i n a l = - g k j ^

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