Exercícios Resolvidos de Movimento em Relação a Eixos que Giram

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Enunciado

03) De acordo com a figura, o disco de raio 2 r e centro A rola sem escorregar com velocidade angular ω e aceleração angular ω ˙ sobre a pista interna do aro fixo de centro O e raio 6 r . Adotando a base i → ,   j → ,   k → ligada à barra OA, pede-se:

a) Determinar a velocidade e a aceleração angulares da haste OA;

b) Determinar a velocidade e a aceleração do ponto C do disco de centro A;

c) Esboçar um trecho da trajetória descrita pelo ponto C do disco de centro A;

d) Responder (justificando) se é possível ou não definir o triedro de Frenet para os pontos da trajetória esboçada no item anterior correspondentes ao contato do ponto C com a pista interna de aro de centro O.

Passo 1

Eaí gente bonita, tudo bom com vocês?

a) Pra começar bem nossa questão, precisamos determinar a velocidade e a aceleração angulares da haste OA.

Para fazer isso é uma ideia-chave determinar os centros instantâneos de rotação(CIR). Então, como o disco rola sem deslizar, temos v → C = 0 . Logo, C é CIR do disco. Assim, podemos escrever que:

v → A = ω k → × A - C =   ω k → ×   - 2 r i → =   - 2 ω r j →

Por outro lado, o ponto O é fixo então v → O = 0 . Assim, O é um CIR para a hasta OA. Daí, também podemos escrever que:

v → A =   ω O A k → × A - O =   ω O A k → × 4 r i → = 4 ω O A r j →

Beleza, agora é só igualar as duas expressões e teremos a velocidade angular ω O A da haste OA.

4 ω O A r j → =   - 2 ω r j → ⇒ ω O A =   - ω 2

Logo, como:

ω ˙ O A = d ω O A d t = d - ω 2 d t =   - ω ˙ 2

Boa!! A primeira já foi 😊

Passo 2

b) Aqui precisamos determinar a velocidade e aceleração absolutas do ponto C.

Como já foi falado no item A, o ponto C é um CIR. Logo:

v → C = 0

Já quanto à aceleração de C, pelo movimento plano geral, podemos dizer que:

a → C = a → A +   ω ˙ k → × C - A -   ω 2 ( C - A )

O problema é que ainda não conhecemos a → A . Então, bora repetir a mesma ideia para A:

a → A = a → O +   ω ˙ O A k → × A - O - ω O A 2 ( A - O )

Como O é um ponto fixo, a → O = 0 . Daí:

a → A = - ω ˙ 2 k → × 4 r i → - - ω 2 2 ( 4 r i → )

⇒ a → A =   - 2 ω ˙ r j → -   ω 2 r i →

Show, substituindo esse resultado em a → C vem que:

a → C = - 2 ω ˙ r j → -   ω 2 r i → +   ω ˙ k → × 2 r i → -   ω 2 ( 2 r i → )

∴ a → C = - 2 ω ˙ r j → -   ω 2 r i → + 2 ω ˙ r j → - 2 ω 2 r i →  

⇒ a → C =   - 3 ω 2 r i →

Prontinho 😊

Passo 3

c) Nesse item devemos esboçar a trajetória do ponto C do disco.

Aqui é bem importante a gente guardar essa informação:

Sempre que temos um movimento de uma circunferência no interior de outra (disco dentro do aro), em que o movimento ocorre sem deslizamento temos que a curva da trajetória do ponto mais externo do disco é um hipociclóide.

Essa curva tem o formato acima. Para desenhá-la precisamos identificar a relação entre o raio da circunferência interna e externa. Nesse caso, temos:

R a r o = 6 r = 3 ⋅ 2 r = 3 ⋅ r d i s c o

Logo:

R a r o = 3 ⋅ r d i s c o

Logo, a trajetória de C deve apresentar 3 pontos singulares, tipo bicos mesmo (igual a gente desenhou na figura acima), que apresentam em seu entorno singularidades chamadas de cúspides.

Passo 4

d) Devemos verificar se é possível, ou não, definir o triedro de Frenet para a trajetória do ponto C descrita no item anterior.

O triedro de Frenet é um conjunto de três versores, b → ,   τ → ,   n → . Onde τ → é o versor tangente e n → o versor normal, ambos a um ponto da trajetória, e b → = τ → × n →   é o chamado versor binomial.

Para a nossa trajetória definida no item c, vemos que há três pontos singulares, nos quais não existe versor tangente τ → . Sendo assim, não é possível definir um Triedro de Frenet, pois precisaria ser válido para todos os pontos da trajetória do ponto C, o que não ocorre.

Aee, terminamos! Valeu pela atenção pessoal, até a próxima!

Resposta

a)

ω O A =   - ω 2

ω ˙ O A = - ω ˙ 2

b) v → C = 0

a → C =   - 3 ω 2 r i →

c) Resolução no texto.

d) Resolução no texto.

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