Exercícios Resolvidos de Movimento em Relação a Eixos que Giram

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Enunciado

Os carros A e B estão contornando as curvas com velocidades iguais de 72   k m / h . Determine a velocidade que A parece ter para um observador se deslocando e girando com o carro B para o instante representado. A curvatura da estrada para o carro A afeta o resultado? Os eixos x - y estão fixos no carro B .

Passo 1

Quando temos o movimento relativo de corpos que realizam movimento de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

O que queremos determinar é a velocidade que A parece ter para um observador se deslocando e girando com o carro B , ou seja, queremos calcular a velocidade relativa v r e l .

O próximo passo é identificar quem está realizando o movimento relativo. Neste caso, é o carro A , já que o eixo está fixo no carro B . Então, a velocidade v A corresponde a velocidade absoluta do carro A :

v A = 70   k m / h

Vamos passar esta velocidade para m / s :

v A = 70 3,6 m s     →         v A = 20   m / s

Repare que o carro A se move no sentido positivo do eixo x , então o vetor velocidade é:

v → A = - 20 i ^   m / s

Como a velocidade do carro B é igual a velocidade do carro A , então:

v B = 20   m / s

Porém, o carro B se move no sentido positivo do eixo x :

v → B = + 20 i ^   m / s

A velocidade angular ω pode ser calculada, já que ambos os carros realizam movimento circular. Mas repare que a velocidade angular a ser calculada é a do carro B (onde está o eixo fixo):

ω = v B ρ       →           ω = 20 100

ω = 0,2   r a d / s

A velocidade angular é positiva, porque devido a posição dos eixos x y , o sentido positivo do eixo z é apontando para dentro da tela.

ω → = 0,2   k ^   r a d / s

E o vetor posição é a distância do carro A até o eixo que está fixo em B :

r → = - 30 j ^   m

Passo 2

Agora que definimos o que é cada coisa da nossa equação, vamos substituir:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l     →       - 20 i ^ = 20 i ^ + 0,2   k ^ × - 30 j ^ + v → r e l

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,2 0 - 30 0 = i ^ 0 0,2 - 30 0 - j ^ 0 0,2 0 0 + k ^ 0 0 10 - 30

ω → × r → = 6 i ^

Então:

- 20 i ^ = 20 i ^ + 0,2   k ^ × - 30 j ^ + v → r e l       →           - 20 i ^ = 20 i ^ + 6 i ^ + v → r e l

v → r e l = - 20 i ^ - 20 i ^ - 6 i ^

v → r e l =   - 46 i ^   m / s

Passo 3

A questão quer saber se ao mudar o raio de curvatura do carro A vai alterar a velocidade relativa. A resposta é não, porque usamos o raio de curvatura ρ para calcular a velocidade angular ω . Mas sempre calculamos a velocidade angular do corpo onde está o eixo fixo e não no corpo em que estamos analisando o movimento relativo.

Resposta

a )   v → r e l =   - 46 i ^   m / s

b )   N ã o   a l t e r a   a   v e l o c i d a d e   r e l a t i v a

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