Exercícios Resolvidos de Movimento em Relação a Eixos que Giram

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Enunciado

O bloco B do mecanismo tem de ser deslocar na ranhura da barra C D . Se A B está se movendo a uma taxa constante ω A B = 3   r a d / s , determine a ) a velocidade angular e b ) a aceleração angular da barra C D , na situação mostrada na figura.

Passo 1

Nesse tipo de questão, a primeira coisa que temos que fazer é posicionar o eixo que será móvel e aquele que será fixo.

Repare que o bloco B se move ao longo da barra C D , então vamos posicionar o nosso eixo móvel ( x y ) nesta barra onde ocorre o movimento:

Nosso eixo fixo ( X Y ) vai ser aquele que estamos acostumados:

Passo 2

Feito isso podemos começar a resolver nossa questão. Vamos começar pela barra que temos alguma informação sobre o seu movimento que é a barra A B . Repare que nesta barra o ponto B gira em torno do ponto A que é fixo, então vamos usar nossa velha conhecida equação:

v → B = ω → A B × r → B / A

A velocidade angular da barra A B foi dada e como está girando no sentido horário é negativa:

ω → A B = - 3 k ^   r a d / s

O vetor posição de B com relação ao ponto A é:

r → B / A = 0,1 i ^   m

Agora é só fazermos o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 3 0,1 0 0 = 0 - 3 0 0 i ^ - 0 - 3 0,1 0 j ^ + 0 0 0,1 0 k ^ =

= - 0,3 j ^

v → B = ω → A B × r → B / A       →           v → B = - 0,3 j ^   m / s

Passo 3

Nosso próximo passo é analisar a barra C D que é justamente a barra que a questão quer saber. Como nesta barra está o nosso eixo móvel, temos que usar a equação para eixos girantes:

v → B = v → C + ω → C D × r → B / C + v → r e l

Primeiro temos que identificar o que é cada termo da nossa equação com relação ao questão que queremos resolver!

A velocidade v C é a velocidade do ponto C com relação ao referencial fixo. Mas repare que o ponto C não se move ao longo do eixo, ele é fixo, logo sua velocidade é nula:

v C = 0

A velocidade angular ω C D que aparece na nossa equação é justamente o que a questão pede para determinamos. Repare que na figura que foi dada no enunciado já tem um sentido para a velocidade angular desta barra, então vamos só colocar o sentido que é negativo:

ω → C D = - ω C D k ^   r a d / s

E o vetor r → B / C ?

r → B / C = 0,2 s e n   3 0 ° i ^ + 0,2 cos ⁡ 3 0 ° j ^

r → B / C = 0 , 1 i ^ + 0 , 173 j ^   m

A velocidade relativa v r e l corresponde a velocidade que ponto B tem quando ele se movimenta ao longo do eixo móvel. Como o ponto B só pode se mover ao longo da barra C D , o vetor velocidade será:

Repare que a velocidade está apontando para baixo, porque a barra A B está girando no sentido horário o que faz o ponto B se mova para baixo ao longo do eixo móvel.

Porém, antes de colocar na nossa equação temos que decompor o vetor velocidade relativa para o eixo fixo X Y . Como não sabemos seu valor, vamos ter que:

v → r e l = - v r e l s e n   3 0 ° i ^ - v r e l cos ⁡ 3 0 ° j ^

v → r e l = - 0 , 5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^

Agora sim podemos substituir tudo que achamos na nossa equação:

v → B = v → C + ω → C D × r → B / C + v → r e l      

v → B = - ω C D k ^ × 0,1 i ^ + 0,173 j ^   + ( - 0,5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^ )

Vamos resolver este produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - ω C D 0 , 1 0 , 173 0 = 0 - ω C D 0 , 173 0 i ^ - 0 - ω C D 0 , 1 0 j ^ + 0 0 0 , 1 0 , 173 k ^ =

= 0,173 ω C D i ^ - 0,1 ω C D j ^

Então, temos que:

v → B = 0,173 ω C D i ^ - 0,1 ω C D j ^ - 0,5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^

Passo 4

Lembra que já achamos a velocidade do ponto B antes:

v → B = - 0,3 j ^   m / s

Então, vamos substituir esse valor nessa equação que achamos:

v → B = 0,173 ω C D i ^ - 0,1 ω C D j ^ - 0,5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^

- 0,3 j ^ = 0,173 ω C D i ^ - 0,1 ω C D j ^ - 0,5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^

Agora temos que separar as componentes i ^ e j ^ em duas equações:

E m   x       →       ��   0 = 0,173 ω C D - 0 , 5 v r e l

E m   y       →         - 0,3 = - 0,1 ω C D - 0,866 v r e l

Da primeira equação temos que:

0 = 0,173 ω C D - 0,5 v r e l         →             0,5 v r e l = 0,173 ω C D

v r e l = 0,173 0,5 ω C D

v r e l = 0,346 ω C D

Substituindo isso na segunda equação:

- 0,3 = - 0,1 ω C D - 0,866 v r e l         →             - 0,3 = - 0,1 ω C D - 0,866 ( 0,346 ω C D )

- 0,3 = - 0,1 ω C D - 0,299 ω C D

ω C D = 0,75   r a d / s

O resultado ter dado positivo indica que arbitramos o sentido correto para o vetor (graças a dica da figura hahaha). Então, temos que:

ω → C D = - 0,75   k ^   r a d / s

E a velocidade relativa será:

v r e l = 0,346 ω C D       →             v r e l = 0,346 ( 0,75   )

v r e l = 0,26   m / s

Passo 5

Agora vamos analisar a aceleração do ponto B . Primeiro vamos usar a barra A B que é a barra que temos alguma informação sobre seu movimento. Repare que o ponto C faz um movimento circular em torno do ponto A que é fixo, então:

a → B = α → A B × r → B / A - ω A B 2 r → B / A

Foi dito no enunciado da questão que a barra A B se move a uma taxa constante, portanto sua aceleração angular é nula:

α A B = 0

Então nos sobra:

a → B = - ω A B 2 r → B / A

E já sabemos que:

r → B / A = 0,1 i ^   m

E:

ω → A B = - 3 k ^   r a d / s

Substituindo isso na nossa equação, temos que:

a → B = - ω A B 2 r → B / A         →             a → B = - 3 2 ( 0,1 i ^ )

a → B = - 0,9 i ^   m / s 2

Passo 6

Mas não é a aceleração do ponto B que a questão pede. O que queremos é a aceleração angular da barra C D . Então, vamos analisar o movimento nesta barra sabendo que é nela que está nosso eixo móvel.

A equação da aceleração com relação ao eixo móvel é:

a → B = a → C + α → C D × r → B / C + ω → C D × ω → C D × r → B / C + 2 ω → C D × v → r e l + a → r e l

Vamos mais uma vez relacionar cada termo da equação com o que está acontecendo na situação do nosso problema.

Como o ponto C está fixo, ele não possui aceleração:

a C = 0

A aceleração angular da barra C D nós não sabemos, mas pela figura é possível ver que o seu sentido é horário:

α → C D = - α C D k ^   r a d / s 2

A aceleração relativa a r e l corresponde a aceleração do ponto B quando ele se move no eixo móvel. Como o ponto B só pode se mover ao longo da barra C D , o vetor aceleração relativa será:

Precisamos decompor o vetor a → r e l no eixo fixo X Y :

a → r e l = - a r e l s e n   30 ° i ^ - a r e l cos ⁡ 30 ° j ^

a → r e l = - 0 , 5 a r e l i ^ - 0 , 866 a r e l j ^

Não esqueça que tem que decompor o vetor velocidade relativa ( v → r e l ), cujo valor achamos no passo anterior, nos eixos X Y também. Vai ficar assim:

v → r e l = - 0,5 v r e l i ^ - 0,866 v r e l j ^      

v → r e l = - 0,5 ( 0,26 ) i ^ - 0,866 ( 0,26 ) j ^

v → r e l = - 0,13 i ^ - 0,225 j ^   m / s

E o restante dos termos nós já sabemos, então a nossa equação fica:

a → B = a → C + α → C D × r → B / C + ω → C D × ω → C D × r → B / C + 2 ω → C D × v → r e l + a → r e l

a → C = - α C D k ^   × 0,1 i ^ + 0,173 j ^ + ( - 0,75   k ^ ) × ( - 0,75   k ^ ) × 0,1 i ^ + 0,173 j ^ + 2 ( - 0,75   k ^ ) × ( - 0,13 i ^ - 0,225 j ^ ) + ( - 0,5 a r e l i ^ - 0,866 a r e l j ^ )

Vamos resolver cada um dos produtos vetoriais:

- α C D k ^   × 0,1 i ^ + 0,173 j ^ =

i ^ j ^ k ^ 0 0 - α C D 0 , 1 0,173 0 = 0 - α C D 0,173 0 i ^ - 0 - α C D 0 , 1 0 j ^ + 0 0 0,6495 0,173 k ^ =

= 0,173 α C D i ^ - 0,1 α C D j ^

O próximo nós já tínhamos resolvido antes:

- 0,75   k ^ × 0,1 i ^ + 0,173 j ^ =

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 0,75 0,1 0,173 0 = 0 - 0,75 0,173 0 i ^ - 0 - 0,75 0,1 0 j ^ + 0 0 0,6495 0,173 k ^ =

= 0,129 i ^ - 0,0 7 5 j ^

Então:

- 0,75   k ^ × ( - 0,75   k ^ ) × 0,1 i ^ + 0,173 j ^ = - 0,75   k ^ × ( 0,129 i ^ - 0,0 7 5 j ^ )

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 0,75 0,129 - 0,0 7 5 0 = 0 - 0,75 - 0,0 7 5 0 i ^ - 0 - 0,75 0,129 0 j ^ + 0 0 0,129 - 0,0 7 5 k ^ =

= - 0,0 56 i ^ - 0,097 j ^

Vamos para o nosso último produto vetorial:

2 - 0,75   k ^ × - 0,13 i ^ - 0,225 j ^     →   - 1,5 k ^ × - 0,13 i ^ - 0,225 j ^ =

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 1,5 - 0,13 - 0,225 0 = 0 - 1,5 - 0,225 0 i ^ - 0 - 1,5 - 0,13 0 j ^ + 0 0 - 0,13 - 0,225 k ^ =

= - 0,338 i ^ + 0 , 1 95 j ^

Agora, vamos substituir isso na nossa equação lá de cima:

a → B = 0,173 α C D i ^ - 0,1 α C D j ^ - 0,056 i ^ - 0,097 j ^ - 0,338 i ^ + 0,195 j ^ - 0,5 a r e l i ^ - 0,866 a r e l j ^

Vamos dar aquela ajeitada na nossa equação:

a → B = 0,173 α C D i ^ - 0,1 α C D j ^ - 0,3 94 i ^ + 0,098 j ^ - 0,5 a r e l i ^ - 0,866 a r e l j ^

Passo 7

Lembra que achamos um valor para a aceleração do ponto B ?

a → B = - 0,9 i ^   m / s 2

Então, vamos substituir este valor na nossa equação:

a → B = 0,173 α C D i ^ - 0,1 α C D j ^ - 0,394 i ^ + 0,098 j ^ - 0,5 a r e l i ^ - 0,866 a r e l j ^

- 0,9 i ^ = 0,173 α C D i ^ - 0,1 α C D j ^ - 0,394 i ^ + 0,098 j ^ - 0,5 a r e l i ^ - 0,866 a r e l j ^

Agora vamos separar as componentes i ^ e j ^ cada qual na sua equação:

E m   x       →         - 0,9 = 0,173 α C D - 0,3 94 - 0,5 a r e l

E m   y       →           0 = - 0,1 α C D + 0,098 - 0,866 a r e l

Da segunda equação tiramos que:

0 = - 0,1 α C D + 0,098 - 0,866 a r e l     →         0,866 a r e l = - 0,1 α C D + 0,098

a r e l = - 0,115 α C D + 0,113

Substituindo isso na primeira equação temos que:

- 0,9 = 0,173 α C D - 0,394 - 0,5 a r e l    

        - 0,9 = 0,173 α C D - 0,394 - 0,5 ( - 0,115 α C D + 0,113 )

- 0 , 449 = 0,173 α C D + 0,058 α C D

α C D = - 1,95   r a d / s 2

Como o sinal deu negativo, significa que arbitramos o sentido contrário para a aceleração angular da barra C D . Como tínhamos arbitrado o sentido negativo, ela vai ser positiva:

α → C D = 1,95 k ^   r a d / s 2  

Resposta

a )   ω → C D = - 0,75   k ^   r a d / s

b )   α → C D = 1,95 k ^   r a d / s 2  

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