Exercícios Resolvidos de Movimento em Relação a Eixos que Giram

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Enunciado

Num dado instante, a barra A B tem velocidade angular ω A B = 3   r a d / s e aceleração angular α A B = 5   r a d / s 2 . Determine a ) a velocidade angular e b ) a aceleração angular da barra C D , nesse instante. O colar em C está ligado por pino em C D e desliza em A B .

Passo 1

Nesse tipo de questão, a primeira coisa que temos que fazer é posicionar o eixo que será móvel e aquele que será fixo.

Repare que o colar em C se move ao longo da barra A B , então vamos posicionar o nosso eixo móvel ( x y ) nesta barra:

Nosso eixo fixo ( X Y ) vai ser aquele que estamos acostumados:

Passo 2

Feito isso podemos começar a resolver nossa questão. Vamos começar pela velocidade do ponto C com relação ao eixo móvel, pois temos informações sobre o movimento da barra A B :

v → C = v → A + ω → A B × r → C / A + v → r e l

Primeiro temos que identificar o que é cada termo da nossa equação no problema que queremos resolver!

A velocidade v A é a velocidade do ponto A com relação ao referencial fixo. Mas repare que o ponto A é fixo, logo sua velocidade é nula:

v A = 0

A velocidade angular ω A B que aparece na nossa equação nós já sabemos que é positiva:

ω → A B = 3 k ^   r a d / s

E o vetor r → C / A ?

r → C / A = 0,75 s e n   60 ° i ^ - 0,75 cos ⁡ 60 ° j ^

r → C / A = 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^   m

A velocidade relativa v r e l corresponde a velocidade do ponto C quando ele se move no eixo móvel. Como o colar C só pode se mover ao longo da barra A B , o vetor velocidade será:

Porém, antes de colocar na equação temos que decompor o vetor para o eixo fixo. Como não sabemos seu valor, vamos ter que:

v → r e l = v r e l s e n   60 ° i ^ - v r e l cos ⁡ 60 ° j ^

v → r e l = 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^

Agora sim podemos substituir tudo que achamos na nossa equação:

v → C = v → A + ω → A B × r → C / A + v → r e l       →

v → C = 3 k ^   × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ + ( 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^ )

Vamos resolver este produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 3 0,6495 - 0,3750 0 = 0 3 - 0,3750 0 i ^ - 0 3 0,6495 0 j ^ + 0 0 0,6495 - 0,3750 k ^ =

= 1,125 i ^ + 1,9486 j ^

Então, temos que:

v → C = 1,125 i ^ + 1,9486 j ^ + 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^

Vamos guardar essa equação, pois não conseguimos avançar só com ela.

Passo 3

Temos que buscar outra forma de achar a velocidade do ponto C . Para isso vamos usar a barra C D . Repare que nesta barra o ponto C gira em torno do ponto D que é fixo, então vamos usar nossa velha conhecida equação:

v → C = ω → C D × r → C / A

Não sabemos o valor da velocidade angular da barra C D , mas vamos supor que ela está girando no sentido anti-horário (sentido positivo):

ω → C D = ω C D k ^

E o vetor r → C / A é:

r → C / A = 0,5 j ^   m

Então, a velocidade do ponto C será:

v → C = ω → C D × r → C / A       →         v → C = ω C D k ^ × 0,5 j ^

Resolvendo este produto vetorial, vamos ter que:

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω C D 0 0,5 0 = 0 ω C D 0,5 0 i ^ - 0 ω C D 0 0 j ^ + 0 0 0 0,5 k ^ =

= - 0,5 ω C D i ^

Então:

v → C = - 0,5 ω C D i ^

Passo 4

Agora sim temos duas equações que relacionam a velocidade do ponto C :

v → C = - 0,5 ω C D i ^

E:

v → C = 1,125 i ^ + 1,9486 j ^ + 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^

Vamos igualar estas equações:

- 0,5 ω C D i ^ = 1,125 i ^ + 1,9486 j ^ + 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^

Agora temos que separar as componentes i ^ e j ^ em duas equações:

E m   x       →           - 0,5 ω C D = 1,125 + 0,866 v r e l

E m   y       →         0 = 1,9486 - 0,5 v r e l

Da segunda equação tiramos que:

0 = 1,9486 - 0,5 v r e l     →         0,5 v r e l = 1,9486

v r e l = 3,90   m / s

E da primeira equação temos que:

- 0,5 ω C D = 1,125 + 0,866 v r e l       →           - 0,5 ω C D = 1,125 + 0,866 ( 3,9 )

ω C D = - 9,0   r a d / s

Como a achamos um valor negativo, significa que arbitramos o sentido contrário para a velocidade angular da barra C D :

ω → C D = - 9,0   k ^   r a d / s

Passo 5

Nosso próximo passo é acharmos a aceleração angular da barra C D . Para isso, vamos usar a equação da aceleração do ponto C com relação ao eixo móvel:

a → C = a → A + α → A B × r → C / A + ω → A B × ω → A B × r → C / A + 2 ω → A B × v → r e l + a → r e l

Vamos mais uma vez relacionar cada termo da equação com o que está acontecendo na situação do problema.

Como o ponto A está fixo, ele não possui aceleração:

a A = 0

A aceleração angular da barra A B é:

α → A B = 5 k ^   r a d / s 2

A aceleração relativa a r e l corresponde a aceleração do ponto C quando ele se move no eixo móvel. Como o colar C só pode se mover ao longo da barra A B , o vetor aceleração será:

a → r e l = a r e l s e n   60 ° i ^ - a r e l cos ⁡ 60 ° j ^

a → r e l = 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^

Não esqueça que tem que decompor o vetor velocidade relativa, cujo valor achamos no passo anterior, nos eixos X Y também. Vai ficar assim:

v → r e l = 0,866 v r e l i ^ - 0,5 v r e l j ^       →           v → r e l = 0,866 ( 3,90   ) i ^ - 0,5 ( 3,90   ) j ^

v → r e l = 3,378 i ^ - 1,95 j ^

E o restante dos termos nós já sabemos, então a nossa equação fica:

a → C = a → A + α → A B × r → C / A + ω → A B × ω → A B × r → C / A + 2 ω → A B × v → r e l + a → r e l     →

a → C = 5 k ^   × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ + 3 k ^ × 3 k ^ × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ + 2 ( 3 k ^ ) × ( 3,378 i ^ - 1,95 j ^ ) + ( 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^ )

Vamos resolver cada um dos produtos vetoriais:

5 k ^   × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ =

i ^ j ^ k ^ 0 0 5 0,6495 - 0,3750 0 = 0 5 - 0,3750 0 i ^ - 0 5 0,6495 0 j ^ + 0 0 0,6495 - 0,3750 k ^ =

= 1,875 i ^ + 3,2476 j ^

O próximo nós já tínhamos resolvido antes:

3 k ^ × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ = 1,125 i ^ + 1,9486 j ^

Então:

3 k ^ × 3 k ^ × 0,6495 i ^ - 0,3750 j ^ = 3 k ^ × ( 1,125 i ^ + 1,9486 j ^ )

i ^ j ^ k ^ 0 0 3 1,125 1,9486 0 = 0 3 1,9486 0 i ^ - 0 3 1,125 0 j ^ + 0 0 1,125 1,9486 k ^ =

= - 5,8458 i ^ + 3,375 j ^

Calma, vamos para o nosso último produto vetorial:

2 3 k ^ �� 3,378 i ^ - 1,95 j ^       →       6 k ^ × 3,378 i ^ - 1,95 j ^ =

i ^ j ^ k ^ 0 0 6 3,378 - 1,95 0 = 0 6 - 1,95 0 i ^ - 0 6 3,378 0 j ^ + 0 0 3,378 - 1,95 k ^ =

= 11,7 i ^ + 20,25 j ^

Agora, vamos substituir isso na nossa equação lá de cima:

a → C = 1,875 i ^ + 3,2476 j ^ - 5,8458 i ^ + 3,375 j ^ + 11,7 i ^ + 20,25 j ^ + ( 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^ )

Beleza?

Vamos dar aquela ajeitada na nossa equação:

a → C = 7,73 i ^ + 26,87 j ^ + 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^

Bem melhor agora, né?

Mas ainda não conseguimos achar a aceleração angular da barra C D só com esta equação aí. Temos que partir para outra!!!

Passo 6

Vamos usar a barra C D para calcular a aceleração do ponto C , já que ele realiza um movimento circular em torno do ponto D que é fixo:

a → C = α → C D × r → C / D - ω C D 2 r → C / D

Sabemos que:

r → C / A = 0,5 j ^   m

E que:

ω → C D = - 9,0   k ^   r a d / s

Nós não sabemos o valor deda aceleração angular da barra C D , mas vamos arbitrar o sentido positivo:

α → C D = α C D k ^

Então a nossa equação fica:

a → C = α → C D × r → C / D - ω C D 2 r → C / D       →    

a → C = α C D k ^ × 0,5 j ^ - 9 2 ( 0,5 j ^ )

Resolvendo esse produto vetorial temos que:

a → C = - 0,5 α C D i ^ - 9 2 ( 0,5 j ^ )

Então:

a → C = - 0,5 α C D i ^ - 40,5 j ^

Passo 7

Pronto! Agora temos duas equações que relacionam a aceleração do ponto C :

a → C = - 0,5 α C D i ^ - 40,5 j ^

E:

a → C = 7,73 i ^ + 26,87 j ^ + 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^

Vamos igualar essas equações:

- 0,5 α C D i ^ - 40,5 j ^ = 7,73 i ^ + 26,87 j ^ + 0,866 a r e l i ^ - 0,5 a r e l j ^

Agora é só separar as componentes i ^ e j ^ cada qual na sua equação:

E m   x       →         - 0,5 α C D = 7,73 + 0,866 a r e l

E m   y       →           - 40,5 = 26,87 - 0,5 a r e l

Da segunda equação tiramos que:

- 40,5 = 26,87 - 0,5 a r e l       →           - 67,37 = - 0,5 a r e l

a r e l = 134,75   m / s 2

E da primeira equação temos que:

- 0,5 α C D = 7,73 + 0,866 a r e l     →           - 0,5 α C D = 7,73 + 0,866 ( 134,75   )

α C D = - 249   r a d / s 2

Como o sinal deu negativo, significa que arbitramos o sentido contrário para a aceleração angular da barra C D :

α → C D = - 249 k ^   r a d / s 2  

Resposta

a )   ω → C D = - 9,0   k ^   r a d / s

b )   α → C D = - 249 k ^   r a d / s 2  

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