Exercícios Resolvidos de Movimento em Relação a Eixos que Giram

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Enunciado

Enquanto a ponte giratória está fechando com uma velocidade angular de 0,5   r a d / s , um homem corre ao longo da pista a uma velocidade constante de 5   p é s / s , relativamente à pista. Determine a ) a velocidade e b ) a aceleração do homem, no instante em que d = 15   p é s .

Passo 1

Como se trata de corpos que realizam movimentos de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos utilizar a seguinte equação para a velocidade:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Nosso próximo passo é identificar onde ocorre o movimento relativo. Perceba que enquanto a ponte gira, o homem se move por ela. Então, o homem que realiza o movimento relativo. Agora vamos organizar a nossa equação.

A velocidade v A é a velocidade absoluta de quem realiza o movimento, que no nosso caso é o homem:

v A = v h o m e m

Essa é a primeira coisa que precisamos descobrir!

A velocidade v B é a velocidade da ponte. Mas repare que a ponte apenas gira, então a sua velocidade é zero:

v B = v p o n t e = 0

A velocidade angular da ponte foi dada, mas repare que ela gira no sentido anti-horário, então o vetor é positivo:

ω → = + 0,5 k ^   r a d / s

O vetor posição r →   do homem com relação ao eixo será:

r → = - 15 j ^   p é s

E enfim, a velocidade relativa v r e l é a velocidade que o homem tem com relação a ponte. Repare que ele está correndo no sentido negativo do eixo y :

v → r e l = - 5 j ^   p é s / s

Passo 2

Agora que identificamos o que é cada coisa na nossa equação, é só substituirmos:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l       →           v → h o m e m = ω → × r → + v → r e l

v → h o m e m = 0,5 k ^ × - 15 j ^ - 5 j ^

Vamos resolver o produto vetorial separado:

ω → × r → = 0,5 k ^ × - 15 j ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 0 , 5 0 - 15 0 = i ^ 0 0,5 - 15 0 - j ^ 0 0,5 0 0 + k ^ 0 0 0 - 15

ω → × r → = + 7 , 5 i ^

Substituindo isso aí na nossa equação, vamos ter que:

v → h o m e m = 0,5 k ^ × - 15 j ^ - 5 j ^    

v → h o m e m = 7,5 i ^ - 5 j ^   p é s / s

O módulo da velocidade vai ser:

v → h o m e m = 7,5 2 + ( - 5 ) 2

v → h o m e m = 9,01   p é s / s

Passo 3

Agora vamos fazer a análise da aceleração. Para isso, vamos usar a seguinte equação:

a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

A aceleração do homem é:

a A = a h o m e m

Lembra que vimos que a ponte não tem velocidade, portanto ela também não terá aceleração:

a B = a p o n t e = 0

A aceleração angular α da ponte também é zero, porque ela gira a velocidade constante:

α = 0

Repare que os vetores posição r → , velocidade angular ω → e velocidade relativa v → r e l   não mudam.

A aceleração relativa a → r e l também é zero, porque o homem corre com velocidade constante :

α r e l = 0

Então, vamos ter que:

a → h o m e m = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

a → h o m e m = 0,5 k ^ × 0,5 k ^ × - 15 j ^ + 2 ( 0,5 k ^ ) × - 5 j ^

Já sabemos que:

ω → × r → = 0,5 k ^ × - 15 j ^ = + 7,5 i ^

Então:

ω → × ω → × r → = 0,5 k ^ × 0,5 k ^ × - 15 j ^

0,5 k ^ × 7,5 i ^

Esse produto vetorial vai ficar:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0 , 5 7,5 0 0 = i ^ 0 0 , 5 0 0 - j ^ 0 0 , 5 7,5 0 + k ^ 0 0 7,5 0

ω → × ω → × r → = 3,75 j ^

O outro produto vetorial que precisamos é:

2 ω → × v → r e l = 2 ( 0,5 k ^ ) × - 5 j ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 1 0 - 5 0 = i ^ 0 1 - 5 0 - j ^ 0 1 0 0 + k ^ 0 0 0 - 5

2 ω → × v → r e l = + 5 i ^

Substituindo isso na nossa equação, vamos ter:

a → h o m e m = 0,5 k ^ × 0,5 k ^ × - 15 j ^ + 2 ( 0,5 k ^ ) × - 5 j ^

a → h o m e m = 5 i ^ + 3,75 j ^

O seu módulo será:

a → h o m e m = 5 2 + 3,75 2

a → h o m e m = 6,25   p é s / s 2

Resposta

a )   v → h o m e m = 9,01   p é s / s

b )   a → h o m e m = 6,25   p é s / s 2

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