Exercícios Resolvidos de Movimento em Relação a Eixos que Giram

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Enunciado

Ao contornar uma curva sem inclinação lateral a uma velocidade constante de 25   k m / h , o centro C do vagão ferroviário segue uma trajetória circular de raio ρ = 60   m . O eixo longitudinal do vagão permanece tangente ao círculo. Determine a velocidade absoluta v de uma pessoa P que caminha na velocidade constante de 1,5 m/s em relação ao vagão quando ele está nos pontos a ) A ,   b )   B e c )   C . Utilize os eixos x - y presos ao vagão como indicado.

Passo 1

Quando temos o movimento relativo de corpos que realizam movimento de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

O próximo passo é identificar quem está realizando o movimento relativo. Neste caso, é a pessoa. Então, a velocidade v A corresponde a velocidade absoluta da pessoa:

v → A = v →

E é justamente o que queremos saber!

A velocidade v B é a velocidade absoluta do trem:

v B = v t r e m = 25   k m / h

Que passando para m / s , temos:

v t r e m = 25 3,6     →         v t r e m = 6,94   m / s

Como o trem anda para a esquerda, o vetor velocidade v → t r e m será:

v → t r e m = - 6,94 i ^   m / s

Como o trem está realizando um movimento circular, a sua velocidade angular ω → pode ser calculada assim:

ω = v t r e m ρ     →         ω = 6,94 60    

ω = 0,1157   r a d / s    

Sabemos que a velocidade angular está sempre no eixo z e como o trem está andando para a esquerda, então a velocidade angular é positiva:

ω → = 0,1157 k ^   r a d / s

E a velocidade relativa v r e l é a velocidade da pessoa com relação ao vagão do trem. Repare que a pessoa caminha da direita para a esquerda, ou seja, no sentido negativo do eixo x :

v → r e l = - 1,5 i ^   m / s

Passo 2

Vamos calcular primeiro a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto A . Repare que quando ela está no ponto A , a sua posição é:

r → = + 10 i ^   m

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 10 i ^ - 1,5 i ^

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,1157 10 0 0 = i ^ 0 0,1157 0 0 - j ^ 0 0,1157 10 0 + k ^ 0 0 10 0

ω → × r → = 1,157 j ^

Então:

v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 10 i ^ - 1,5 i ^       →           v → = - 6,94 i ^ + 1,157 j ^ + - 1,5 i ^

v → = v → A = - 8,44 i ^ + 1,157 j ^   m / s

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto B . Repare que quando ela está neste ponto, a sua posição é:

r → = - 10 i ^   m

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × - 10 i ^ - 1,5 i ^

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,1157 - 10 0 0 = i ^ 0 0,1157 0 0 - j ^ 0 0,1157 - 10 0 + k ^ 0 0 - 10 0

ω → × r → = - 1,157 j ^

Então:

v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × - 10 i ^ - 1,5 i ^       →           v → = - 6,94 i ^ - 1,157 j ^ + - 1,5 i ^

v → = v → B = - 8,44 i ^ - 1,157 j ^   m / s

Passo 4

Por último vamos calcular a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto C . Repare que quando ela está neste ponto, a sua posição é:

r → = 0

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 0 - 1,5 i ^

Essa é moleza, né?

v → = v → C = - 8,44 i ^   m / s

Resposta

a )   v → A = - 8,44 i ^ + 1,157 j ^   m / s

b )   v → = v → B = - 8,44 i ^ - 1,157 j ^   m / s

c )   v → C = - 8,44 i ^   m / s

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