Exercícios Resolvidos de Movimento em Relação a Eixos que Giram

Ver Teoria

Enunciado

O disco gira em torno de um eixo fixo através de O com velocidade angular ω = 5   r a d / s e aceleração angular α = 3   r a d / s 2 no instante representado, nos sentidos indicados. O cursor A se desloca na ranhura reta. Determine a ) a velocidade e b ) a aceleração absolutas de A para o mesmo instante, quando x = 36   m m , x ˙ = - 100   m m / s e x ¨ = 150   m m / s 2 .

Passo 1

Nosso primeiro passo é identificar onde ocorre o movimento relativo. Perceba que enquanto o disco gira em torno de O , o cursor A se move na ranhura. Então, o movimento relativo ocorre no cursor A . Para a velocidade vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Repare que o disco apenas gira em torno do ponto O , ou seja, só possui velocidade angular com relação a esse ponto, então:

V B = 0

A velocidade angular é sempre perpendicular à figura, ou seja, está no eixo z . Como ela faz o disco girar no sentido anti-horário, a velocidade angular é positiva de acordo com a nossa convenção de sinais:

ω → = + 5 k ^   r a d / s

E o vetor posição r ? Ela indica a posição do cursor A medido a partir do eixo x y no instante mostrado na figura:

r → = 36 i ^ + 25 j ^   m m

A velocidade relativa v r e l é a velocidade do cursor A com relação ao eixo que gira:

v → r e l = - 100 i ^   m m / s

Então, vamos ter que:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l       →           v → A = 5 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ ) - 100 i ^

Vamos resolver esse produto vetorial aí:

ω → × r → = 5 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ )

i ^ j ^ k ^ 0 0 5 36 25 0 = i ^ 0 5 25 0 - j ^ 0 5 36 0 + k ^ 0 0 36 25

ω → × r → = ( - 125 i ^ + 180 j ^ )

Substituindo isso aí na nossa equação, vamos ter que:

v → A = 5 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ ) - 100 i ^       →             v → A = - 125 i ^ + 180 j ^ - 100 i ^

Então, v → A será:

v → A = - 225 i ^ + 180 j ^   m m / s

Passo 2

Agora vamos fazer a análise da aceleração. Para isso, vamos usar a seguinte equação:

a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

Lembra que vimos que o corpo B não tinha velocidade no ponto O , portanto ele também não terá aceleração:

a → B = 0

A aceleração angular α do disco estará sempre no eixo z e como ela gira no sentido contrário da velocidade angular, ela é negativa:

α → = - 3 k ^   r a d / s 2

Repare que os vetores posição r → , velocidade angular ω → e velocidade relativa v → r e l   não mudam:

r → = 36 i ^ + 25 j ^   m m

ω → = + 5 k ^   r a d / s

v → r e l = - 100 i ^   m m / s

Já a aceleração relativa a → r e l é a aceleração que o cursor A possui e está posicionada no eixo x :

a → r e l = 150 i ^   m m / s 2

Então, vamos ter que:

a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

a → A = - 3 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ ) + 5 k ^ × 5 k ^ × 36 i ^ + 25 j ^ + 2 ( 5 k ^ ) × - 100 i ^ + 150 i ^

Vamos fazer cada produto vetorial separado:

  • Já sabemos que:
  • ω → × r → = 5 k ^ × 36 i ^ + 25 j ^ = - 125 i ^ + 180 j ^

  • ω → × ω → × r → :
  • 5 k ^ × 5 k ^ × 36 i ^ + 25 j ^   →       5 k ^ × ( - 125 i ^ + 180 j ^ )

    i ^ j ^ k ^ 0 0 5 - 125 180 0 = i ^ 0 5 180 0 - j ^ 0 5 - 125 0 + k ^ 0 0 - 125 180

    ω → × ω → × r → = - 900 i ^ - 625 j ^

  • α → × r → :
  • α → × r → = - 3 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ )

    i ^ j ^ k ^ 0 0 - 3 36 25 0 = i ^ 0 - 3 25 0 - j ^ 0 - 3 36 0 + k ^ 0 0 36 25

    α → × r → = 75 i ^ - 108 j ^

  • 2 ω → × v → r e l :

2 5 k ^ × - 100 i ^   →       10 k ^ × - 100 i ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 10 - 100 0 0 = i ^ 0 10 0 0 - j ^ 0 10 - 100 0 + k ^ 0 0 - 100 0

2 ω → × v → r e l = - 1000 j ^

Pronto! Agora é só substituirmos:

a → A = - 3 k ^ × ( 36 i ^ + 25 j ^ ) + 5 k ^ × 5 k ^ × 36 i ^ + 25 j ^ + 2 ( 5 k ^ ) × - 100 i ^ + 150 i ^

a → A = 75 i ^ - 108 j ^ + - 900 i ^ - 625 j ^ - 1000 j ^ + 150 i ^

Somando os termos de mesma componente, obtemos:

a → A = - 675 i ^ - 1733 j ^   m m / s 2

Resposta

a )   v → A = - 225 i ^ + 180 j ^   m m / s

b )   a → A = - 675 i ^ - 1733 j ^   m m / s 2

Exercícios de Livros Relacionados

No instante mostrado, a base do braço robótico gira em torno do eixo z com uma velocidade angular ω 1 = 4 r a d / s , a qual está aumentando a ω ˙ 1 = 3r a d / s 2 . Além disso, a lança B C gira com u
Se a estrutura gira com uma velocidade angular constante ω p = - 10 kr a d / s e a engrenagem horizontal B gira com uma velocidade angular constante ω B = 5 kr a d / s , determine a velocidade angular
O cursor montado sobre molas oscila no eixo de acordo com x = 0,04 s e n π t , onde x é expresso em metros e t é expresso em segundos. Simultaneamente a estrutura gira em torno do mancal em O com uma
O disco A gira a uma velocidade angular constante de 10r a d / s . Se a barra B C está ligada ao disco e ao anel por juntas esféricas, determine a velocidade do anel B no instante mostrado. Além disso
O telescópio está montado sobre uma estrutura F que permite ser direcionado para qualquer ponto do céu. No instante θ = 30 ° , a estrutura tem uma aceleraçãoαy = 0,2r a d / s 2 e uma velocidade angula