Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

UFPE, Álgebra Linear, 3º EE - 2017.1, Questão 1a

a)Sejam Equation um espaço vetorial real com Equation . Sabendo que Equation , Equation e Equation , calcule Equation .

Passo 1

Sabemos que podemos calcular a norma de um vetor da seguinte forma: Equation

Assim, podemos dizer que Equation e elevando os dois lados ao quadrado ficamos com Equation .

Agora vou fazer o mesmo para as outras normas que o enunciado deu pra gente:

Equation

Pela linearidade do produto interno, podemos desmembrar isso aí em vários produtos internos pra facilitar nossa vida:

Equation

Repara que já temos o valor de Equation , então podemos substituir e ficamos com:

Equation

Vamos guardar isso aí um pouquinho e ver a outra norma:

Equation

Substituindo o Equation :

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ficamos com 2 equações e 2 incógnitas, o que isso lembra?! Um sistema linear!

Equation

Fazendo Equation , temos:

Equation

Substituindo em Equation :

Equation

Como Equation achamos que Equation , ou seja, Equation

Passo 3

Vamos agora achar o que o enunciado realmente pediu, Equation , pelas propriedades da norma de um vetor sabemos que:

Equation , Equation

Então, Equation

Resposta

2017

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