Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

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Enunciado

Consideremos o seguinte produto interno em P 2 : p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 , sendo p = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Dados os vetores p 1 = x 2 - 2 x + 3 , p 2 = 3 x - 4 e p 3 = 1 - x 2 , calcular:

a   p 1 ∙ p 2

b   ‖ p 1 ‖ e p 3

c   p 1 + p 2

d p 2 p 2

Passo 1

a Pelo produto interno definido, temos que:

p 1 ∙ p 2 = 1 ∙ 0 + - 2 ∙ 3 + 3 ∙ - 4 = - 6 - 12 = - 18

Passo 2

b Sabemos que p = p , p . Então:

p 1 = 1 2 + - 2 2 + 3 2 = 14

p 3 = ( - 1 ) 2 + 0 2 + 1 2 = 2

Passo 3

c Primeiro achamos p 1 + p 2 :

p 1 + p 2 = x 2 - 2 x + 3 + 3 x - 4 = x 2 + x - 1

Agora a norma:

p 1 + p 2 = x 2 + x - 1 = x 2 + x - 1 , x 2 + x - 1 = 1 2 + 1 2 + - 1 2 = 3

Passo 4

d Temos que p 2 = 3 x - 4 e que a norma dele é:

p 2 = 0 2 + 3 2 + - 4 2 = 25 = 5

Portanto:

p 2 p 2 = 3 x - 4 5

Resposta

a - 18

b   14 e 2

c   3

d   3 x - 4 5

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se u , v é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função P T : V × V → R definida por P T ( u , v ) = T ( u ) , T ( v ) .
Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .
Seja V = R 4 munido do produto interno usual, determinar um vetor não nulo v ∈ R 4 que seja ortogonal a v 1 = ( 1 ,1 ,1 ,- 1 ) , v 2 = ( 1 ,2 ,0 ,1 ) e v 3 = ( - 4 ,1 ,5 ,2 ) .
No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .
Consideremos no R 3 , o seguinte produto interno: x 1 , y 1 , z 1 ∙ x 2 , y 2 , z 2 = 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + 4 z 1 z 2 Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente o