Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

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Enunciado

a)Sejam V um espaço vetorial real com < , > . Sabendo que v = 5 , u + v = 5 e u - 2 v = 23 , calcule - 2017 u .

Passo 1

Sabemos que podemos calcular a norma de um vetor da seguinte forma: s = < s ,   s >

Assim, podemos dizer que 5 = < v ,   v > e elevando os dois lados ao quadrado ficamos com 5 = < v , v > .

Agora vou fazer o mesmo para as outras normas que o enunciado deu pra gente:

5 = < u + v ,   u + v >   ⟺ 5 = < u + v ,   u + v >  

Pela linearidade do produto interno, podemos desmembrar isso aí em vários produtos internos pra facilitar nossa vida:

5 = < u , u > + 2 < v ,   u > + < v , v >

Repara que já temos o valor de < v , v > , então podemos substituir e ficamos com:

5 = < u , u > + 2 < v ,   u > + 5 ⟺   0 = < u , u > + 2 < v ,   u >

Vamos guardar isso aí um pouquinho e ver a outra norma:

23 = < u - 2 v ,   u - 2 v > ⟺ 23 = < u , u > - 4 < v ,   u > + 4 < v , v >

Substituindo o < v , v > :

23 = < u , u > - 4 < v ,   u > + 20 ⟺   3 = < u , u > - 4 < v ,   u >  

Passo 2

Ficamos com 2 equações e 2 incógnitas, o que isso lembra?! Um sistema linear!

0 = < u , u > + 2 < v ,   u > ( I )   3 = < u , u > - 4 < v ,   u > ( I I )

Fazendo I - I I , temos:

- 3 = 6 < v ,   u > ⟹   < u , v > = - 1 2

Substituindo em I :

0 = < u , u > + 2 ∙ - 1 2 ⟹ < u , u > = 1

Como u = < u , u > achamos que u = 1 , ou seja, u = 1

Passo 3

Vamos agora achar o que o enunciado realmente pediu,   - 2017 u , pelas propriedades da norma de um vetor sabemos que:

α s = α ∙ s , ∀   α   ∈ R

Então, - 2017 u =   - 2017 ∙ u ⟹ - 2017 u = 2017   ∙ 1 = 2017

Resposta

2017

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se u , v é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função P T : V × V → R definida por P T ( u , v ) = T ( u ) , T ( v ) .
Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .
Seja V = R 4 munido do produto interno usual, determinar um vetor não nulo v ∈ R 4 que seja ortogonal a v 1 = ( 1 ,1 ,1 ,- 1 ) , v 2 = ( 1 ,2 ,0 ,1 ) e v 3 = ( - 4 ,1 ,5 ,2 ) .
No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .
Consideremos no R 3 , o seguinte produto interno: x 1 , y 1 , z 1 ∙ x 2 , y 2 , z 2 = 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + 4 z 1 z 2 Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente o