Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2017.1, Questão 2

Seja Equation um vetor do Equation . Considere as afirmativas abaixo:

I - Se Equation possui pelo menos uma componente com módulo maior que 1, então Equation

II - Se Equation possui todas as componentes com módulo menor que 1, então Equation

(a) Ambas são falsas

(b) Equation é falsa e Equation é verdadeira

(c) Ambas são verdadeiras

(d) Equation é verdadeira e Equation é falsa

Passo 1

Vamos analisar essas alternativas, supondo Equation

Equation Primeiro calculando o módulo desse vetor:

Equation

Vamos imaginar algumas situações com pelo menos uma componente maior que 1 pra ficar mais claro na nossa cabeça:

Equation

Equation

Pode tentar pensar em algum contraexemplo, não tem!! Isso porque essa afirmativa é verdadeira!

Acontece que um número com módulo maior que 1 ao quadrado sempre vai ser maior que 1, aí somado com as outras componentes, esse número só vai continuar igual (se as outras componentes forem zero) ou aumentar (componentes diferentes de zero). Continuando, assim, maior que 1.

Em seguida tiramos a raiz quadrada desse número maior que 1, que vai ser sempre maior que 1 também.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos tentar achar contraexemplos para a segunda afirmativa:

Equation

Equation

Equation

Equation

Logo, provamos que essa é falsa!

Resposta

d

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