Exercícios Resolvidos de Norma de um Vetor e Distância entre dois Vetores

Ver Teoria

Enunciado

Sejam A ,   B matrizes 2 × 2 tais que A x → , y → = x → , B y → ,   ∀ x → , y → ∈ R 2 , onde 〈 x → , y → 〉 é o produto interno euclidiano em R 2 .

Pode-se afirmar que:

a   B = A

b   B = A T

c   B = A - 1

d   B = - A

Passo 1

Para resolvermos, vamos criar algumas notações:

x → = x 1 x 2 ,   y → = y 1 y 2

A = a 1 a 2 a 3 a 4 ,   B = b 1 b 2 b 3 b 4

Agora vamos efetuar o produto interno, sabendo que:

A x → = a 1 x 1 + a 2 x 2 a 3 x 1 + a 4 x 2

B y → = b 1 y 1 + b 2 y 2 b 3 y 1 + b 4 y 2

Passo 2

Desenvolvendo o produto interno:

  A x → , y → = x → , B y → ⇒

a 1 x 1 + a 2 x 2 y 1 + a 3 x 1 + a 4 x 2 y 2 = b 1 y 1 + b 2 y 2 x 1 + b 3 y 1 + b 4 y 2 x 2 ⇒

a 1 x 1 y 1 + a 3 x 1 y 2 + a 2 x 2 y 1 + a 4 x 2 y 2 = b 1 y 1 + b 2 y 2 x 1 + b 3 y 1 + b 4 y 2 x 2 ⇒

a 1 y 1 + a 3 y 2 x 1 + a 2 y 1 + a 4 y 2 x 2 = b 1 y 1 + b 2 y 2 x 1 + b 3 y 1 + b 4 y 2 x 2

Pronto! Agora presta atenção nos dois lados. A única diferença entre eles são os elementos de A e de B . Mas se por acaso tivéssemos:

a 1 = b 1

a 3 = b 2

a 2 = b 3

a 4 = b 4

A equação estaria satisfeita, pois os dos lados seriam iguais!

Passo 3

Mas essa relação não te lembra alguma coisa? Olha só pra matriz B :

B = a 1 a 3 a 2 a 4

Repare que isso é exatamente a transposta de A !!!

Logo para o sistema ser verdade B = A T

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se u , v é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função P T : V × V → R definida por P T ( u , v ) = T ( u ) , T ( v ) .
Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .
Seja V = R 4 munido do produto interno usual, determinar um vetor não nulo v ∈ R 4 que seja ortogonal a v 1 = ( 1 ,1 ,1 ,- 1 ) , v 2 = ( 1 ,2 ,0 ,1 ) e v 3 = ( - 4 ,1 ,5 ,2 ) .
No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .
Consideremos no R 3 , o seguinte produto interno: x 1 , y 1 , z 1 ∙ x 2 , y 2 , z 2 = 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + 4 z 1 z 2 Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente o