Exercícios Resolvidos de Órbitas em Torno do Centro de Massa

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Enunciado

A figura ao lado mostra quatro estrelas de massa M formando um quadrado que gira em torno do centro de massa do sistema. O lado do quadrado possui comprimento L. Qual é o módulo da velocidade das estrelas? Expresse sua resposta em termos de L, M e da constante gravitacional G. Quando necessário, use c o s 45 ° = 2 / 2

Passo 1

Como o problema é simétrico a velocidade e força resultantes em um estrela será em módulo igual as das outras.

Bem, como vamos descobrir a velocidade em um problema de gravitação? Pelo movimento circular que ela executa. Para que haja movimento circular deve-se ter força centrípeta. Como temos apenas força gravitacional. Temos que a força centrípeta é igual a força gravitacional resultante na direção do centro.

F c p = m V 2 R = F g

Então para descobrirmos a velocidade precisamos descobrir a força resultante em uma partícula.

Vamos aos desenhos das forças então:

A força F 1 é

F 1 = G M 2 L 2   j ^

Na direção do eixo y .

Já a força F 2 é na direção x .

F 2 = G M 2 L 2   x ^

E por último a força três, para calcular essa força temos que primeiro descobrir qual é a distância entre as partículas. Bem como se trata de um quadrado, a distância será a diagonal do quadrado que vale 2 L .

Assim, a força F 3 será:

F 3 = G M 2 2 L 2

Essa é a única força que aponta para o centro. Então vamos ter que calcular qual é a resultante da força F 1 + F 2 e depois somar com a força F 3 que já aponta para o centro.

Bem a resultante F 12 é

F 12 = F 1 2 + F 2 2

F 12 = 2 G M 2 L 2 2

F 12 = G M 2 L 2 2

Somando com F 3 a resultante na direção do centro de massa é:

F R = F 12 + F 3

F R = G M 2 L 2 2 + G M 2 2 L 2

F R = G M 2 L 2 1 2 + 2

Voltando agora para a igualdade com a força centrípeta temos:

F c p = F R

M V 2 R = G M 2 L 2 1 + 2

O raio é igual a metade da diagonal do quadrado, assim R = 2 L / 2

V 2 = G M L 2 4 + 1

V = G M L 2 4 + 1

Resposta

V = G M L 2 4 + 1

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