Exercícios Resolvidos de Órbitas em Torno do Centro de Massa

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 403 ex. 93.

Em um sistema binário de estrelas, duas estrelas descrevem órbitas circulares em torno de seu centro de massa comum. Se as estrelas possuem massas m 1 e m 2 e estão separadas por uma distância r , mostre que o período de rotação está relacionado a r através de:

T 2 = 4 π 2 r 3 G m 1 + m 2

Passo 1

Tá, nesse problema nós temos duas estrelas descrevendo órbitas circulares em torno do seu centro de massa comum.

Vamos considerar que a estrela de massa m 1 dista r 1 do centro de massa e a outra dista r 2 .

Logo, temos que:

r = r 1 + r 2

Pela fórmula do centro de massa, temos:

m 1 r 1 = m 2 r 2 → m 1 r - r 2 = m 2 r 2 → r 2 = r m 1 m 1 + m 2

Vamos deixar esse resultado guardado por um tempo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Vamos agora calcular a força gravitacional que age na massa m 1 (que é a mesma que age na massa m 2 ):

F = G m 1 m 2 r 1 + r 2 2

Essa força também é centrípeta. Logo:

F = G m 1 m 2 r 1 + r 2 2 = m 2 ω 2 r 2 → ω 2 = G m 1 r 2 r 1 + r 2 2 = G m 1 r 2 r 2

Substituindo a expressão que obtivemos no passo 1 nessa equação, teremos:

ω 2 = G m 1 ( m 1 + m 2 ) r m 1 r 2 = G m 1 + m 2 r 3

Mas também sabemos que:

ω = 2 π T → T 2 = 4 π 2 ω 2

Logo:

T 2 = 4 π 2 r 3 G m 1 + m 2

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