Exercícios Resolvidos de Partícula no Poço Finito

Origem do Exercício

Uma partícula de massa m , confinada num poço de potencial como indicado na figura, tem energia total E < U 0 .

A função de onda da partícula é

  1. Determine a probabilidade da partícula estar na região I I I ( x ≥ a ), supondo conhecidas as constantes A , B , C , k e β da função de onda e que ela está normalizada.
  2. Determine as constantes k e β .
  3. Escreva as condições de contorno que a função de onda deve satisfazer (não é necessário resolvê-las ).

Passo 1

Letra a)

A probabilidade da partícula estar na região III é dada por:

P I I I = ∫ a ∞ ψ I I I 2 x d x = ∫ a ∞ C 2 e - 2 β x d x = - C 2 2 β e - 2 β ∞ - e - 2 β a = C 2 2 β e - 2 β a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

A equação de Schrödinger na região II é dada por:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ ( x )

Substituindo a função de onda, temos:

d ψ I I x d x = k A cos ⁡ k x - B sen ⁡ k x

d 2 ψ I I x d x 2 = - k 2 A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x = - k 2 ψ I I ( x )

Comparando as duas equações, vemos que elas são equivalentes se fizermos:

k 2 = 2 m E ℏ 2 →     k = 2 m E ℏ

Passo 3

Para achar β , faremos o mesmo para a região III. Para esta, U x = U 0

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U 0 ψ x = E ψ ( x )

Que pode ser rearrumada:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E - U 0 ψ ( x )

Substituindo a função de onda:

d ψ I I I x d x = - C β e - β x

d 2 ψ I I x d x 2 = C β 2 e - β x = β 2 ψ I I ( x )

As duas equações serão iguais se fizermos:

β 2 = 2 m U 0 - E ℏ 2 →     β = 2 m U 0 - E ℏ

Passo 4

Letra c)

As condições de contorno necessárias advém da continuidade da função de onda e de suas derivadas quando a função não é nula. Assim:

ψ I I 0 = ψ I 0 = 0 →     B = 0

ψ I I I a = ψ I I a     →     A sen ⁡ k a + B cos ⁡ k a = C e - β a

d ψ I I I d x a = d ψ I I d x a → k A cos ⁡ k a - k B sen ⁡ k a = - β C e - β a

Resposta

Letra a)

P I I I = C 2 2 β e - 2 β a

Letra b)

k = 2 m E ℏ

  β = 2 m U 0 - E ℏ

Letra c)

ψ I I 0 = ψ I 0 = 0 →     B = 0

ψ I I I a = ψ I I a     →     A sen ⁡ k a + B cos ⁡ k a = C e - β a

d ψ I I I d x a = d ψ I I d x a → k A cos ⁡ k a - k B sen ⁡ k a = - β C e - β a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas