Exercícios Resolvidos de Partícula no Poço Finito

Origem do Exercício

Uma partícula de massa m e energia E que se move em uma dimensão possui energia potencial que varia com a posição como mostra a figura.

A função de onda estacionária ψ x para esta partícula pode ser obtida separadamente em cada região do espaço, sendo assim especificada por:

ψ x = ψ 1 x     s e     x ≤ 0   r e g i ã o   1 ψ 2 x     s e     0 < x < L   r e g i ã o   2   ψ 3 x     s e     x ≥ L   r e g i ã o   3 ,        

  1. Para o caso 0 < E < U 0 , escreva a solução geral para ψ 1 x , ψ 2 x e ψ 3 x , expressando-as, quando for o caso, em termos de combinações lineares das funções exp ⁡ ± i k x e exp ⁡ ± b x , onde as constantes k e b são ambas reais e positivas.
  2. Calcule os valores de k e b como função de E , U 0 e constantes do problema.
  3. Que condições de contorno as soluções ψ 1 x , ψ 2 x e ψ 3 x devem satisfazer nos pontos x = 0 e x = L .

Passo 1

Letra a)

A equação de Schrödinger é sempre:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ ( x )

Para achar as soluções de cada região, nós substituímos a energia potencial e resolvemos essa equação.

Na região I , x ≤ 0 e U x = ∞ , a única função de onda possível, para a qual não vamos ter nenhuma inconsistência é ψ I x = 0 .

Na região I I , 0 < x < L e U x = 0 , logo:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ I I x d x 2 = E ψ I I ( x )

d 2 ψ I I x d x 2 = - 2 m E ℏ 2 ψ I I ( x )

Definindo k 2 = 2 m E / ℏ 2 , temos:

d 2 ψ I I x d x 2 = - k 2 ψ I I ( x )

Cuja solução é uma combinação de senos e cossenos, o que equivale a uma combinação de exponenciais complexas.

ψ I I x = A e i k x + B e - i k x

Na região I I I , x ≥ L e U x = U 0 , sendo que U 0 > E . Assim, a equação de Schrödinger fica:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ I I I x d x 2 = E - U 0 ψ I I I ( x )

d 2 ψ I I I x d x 2 = 2 m U 0 - E ℏ 2 ψ I I I ( x )

Definindo b 2 = 2 m ( U 0 - E ) / ℏ 2 , temos:

d 2 ψ I I I x d x 2 = b 2 ψ I I I ( x )

Cuja solução é uma combinação de exponenciais reais.

ψ I I I x = C e b x + D e - b x

Porém, neste caso, quando x → ∞ , C e b x → ∞ e a função acabaria não sendo normalizável. Por isso, temos que ter C = 0 .

ψ I I I x = D e - b x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Pelas definições do item anterior, temos:

k = 2 m E ℏ

b = 2 m U 0 - E ℏ

Passo 3

Letra c)

As condições de contorno da função de onda são sempre que ela seja contínua. Isso significa que em x = 0 e x = L tenhamos:

ψ I x = 0 = ψ I I x = 0 →     A e 0 + B e 0 = 0

ψ I I x = L = ψ I I I x = L → A e i k L + B e - i k L = D e - b L

Mas além disso, como ψ I I e ψ I I I não são zero, também igualamos suas derivadas em x = L , de forma que a derivada da função de onda seja contínua.

d ψ I I d x x = L = d ψ I I I d x x = L →       i k A e i k L - B e - i k L = - b D e - b L

Resposta

Letra a)

ψ I x = 0

ψ I I x = A e i k x + B e - i k x

ψ I I I x = C e b x + D e - b x

Letra b)

k = 2 m E ℏ

b = 2 m U 0 - E ℏ

Letra c)

ψ I x = 0 = ψ I I x = 0 →     A e 0 + B e 0 = 0

ψ I I x = L = ψ I I I x = L → A e i k L + B e - i k L = D e - b L

d ψ I I d x x = L = d ψ I I I d x x = L →       i k A e i k L - B e - i k L = - b D e - b L

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