Exercícios Resolvidos de Partícula no Poço Finito

Uma partícula de massa m, confinada num poço de potencial como indicado na figura, tem energia total E < U 0 .

(a) Escreva a solução geral da equação de Schrödinger independente do tempo em termos dos parâmetros do problema. Justificar as respostas através da análise da equação de Schrödinger. Não é necessário encontrar o valor das constantes arbitrárias não nulas.

(b) Escreva as condições de contorno que a função de onda deve satisfazer (não é necessário resolvê-las).

(c) Determine a probabilidade de a partícula estar na região III ( x ≥ a ) , em termos das constantes obtidas no item (a).

Passo 1

(a) Lembrando que a equação de Schrödinger é dada por:

- ℏ 2 2 m   d 2 ψ x d x 2   + U x ψ x = E ψ ( x )

Vamos resolvê-la para cada região dada no problema, começando pela região I, que corresponde a x ≤ 0 .

Rearranjando os termos na equação:

d 2 ψ x d x 2 = 2 m ℏ 2 U x - E ψ x

Fazendo U x = U o > E :

d 2 ψ x d x 2 = 2 m ℏ 2 U 0 - E ψ x

A solução dessa equação é:

ψ x = ψ 0 e - k x

onde k 2 = 2 m ℏ 2 U 0 - E .

Isso é porque temos uma derivada segunda de uma função igual a uma constante vezes a própria função, e isso acontece para a função exponencial.

Mas na região I, temos que U x = U 0 = ∞ .

Então, fazendo U 0 → ∞ ,   k 2 → ∞ e ψ x = ψ 0 e - k x → 0 .

Portanto, na região I, a função de onda é:

ψ 1 x = 0

Na região II, U 0 = 0 e a equação de Schrödinger fica:

d 2 ψ x d x 2 = - 2 m E ℏ 2 ψ x

Agora temos uma função cuja derivada segunda é uma menos uma constante vezes a própria função.

Isso ocorre para as funções seno e cosseno, então as duas são possíveis respostas.

Então, como uma combinação linear de soluções de uma equação diferencial também é solução dessa equação, uma solução possível vai ser:

ψ x = A s e n k x + B c o s k x

Onde k 2 = 2 m E ℏ 2 .

A questão disse que a gente não precisa determinar A e B, então vamos dizer que na região II a função de onda é:

ψ 2 x = A s e n k x + B c o s k x

Por último, pra região III a equação é:

d 2 ψ x d x 2 = 2 m ℏ 2 U x - E ψ x

Fazendo U x = U o > E :

d 2 ψ x d x 2 = 2 m ℏ 2 U 0 - E ψ x

A solução dessa equação é:

ψ 3 x = ψ 0 e - β x

onde β 2 = 2 m ℏ 2 U 0 - E .

Isso é porque de novo temos uma derivada segunda de uma função igual a uma constante vezes a própria função, e isso acontece para a função exponencial.

E essa é a função de onda na região III.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) A primeira condição de contorno desse problema é:

ψ 1 0 = ψ 2 0

Por isso:

0 = A s e n 0 + B c o s 0 ⇔ B = 0

Então:

ψ 2 x = A s e n k x

A segunda condição é:

ψ 2 a = ψ 3 a

Daí tiramos que:

A s e n k a = ψ 0 e - β x

Por último, temos:

d ψ 2 x d x x = a = d ψ 3 x d x x = a

Então:

k c o s k a = - β ψ 0 e - β a

Passo 3

(c) A probabilidade de a partícula estar na região III ( x ≥ a ) é dada por:

P = ∫ 0 ∞ ψ 3 x 2 d x

P = ∫ 0 ∞ ψ 0 2 e - 2 β x d x

P = - ψ 0 2 2 β e - 2 β x a ∞

P = ψ 0 2 2 β e - 2 β a

Resposta

(a) Região I:   ψ 1 x = 0

Região II: ψ 2 x = A s e n k x + B c o s k x

Região III: ψ 3 x = ψ 0 e - β x

(b) ψ 1 0 = ψ 2 0 , ψ 2 a = ψ 3 a ,   d ψ 2 x d x x = a = d ψ 3 x d x x = a

(c) ψ 0 2 2 β e - 2 β a

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