Exercícios Resolvidos de Partícula no Poço Finito

USP – Física 4 – 2019 – P3

1 . Uma partícula de massa m se move em uma dimensão na presença de um poço de potencial

de profundidade U 0 e largura 2 L conforme a figura abaixo. A partícula se encontra num estado estacionário de energia E < U 0 .

(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo desta partícula para - L < x < L e sua solução geral.

(b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo desta partícula para x < - L e x > L e sua solução geral. Qual solução é fisicamente aceitável?

(c) Encontre as condições de contorno que as constantes arbitrárias introduzidas nos itens ( a ) e ( b ) devem satisfazer (não é necessário resolver o sistema).

(d) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula na região x ≥ L como

função dessas constantes.

Passo 1

Então galera, vamos nos livrar dessa questão com categoria.

A informação principal para resolver essa questão é a equação de Schrödinger independente do tempo mais geral, dada por:

- ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ x + U x ψ x = E ψ ( x )

Tendo essa equação basta analisarmos o que cada item quer e ir fazendo as alterações necessárias.

Para facilitar nossa vida, vamos dar nome as coisas. A região onde x < - L vamos chamar de região 1 , onde - L < x < L de região 2 e onde x > L de região 3 .

Vamos lá então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Ele quer a equação de Schrödinger na região 2 , só que nessa região temos U x = 0 , logo nossa equação fica assim:

- ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ x = E ψ ( x )

Agora para encontrar a solução geral, temos que mexer um pouco na nossa equação para ela ficar com uma cara melhor.

Podemos dividir toda equação por - ℏ 2 / 2 m , assim temos:

d 2 d x 2 ψ x = - 2 m E ℏ 2 ψ ( x )

Fazendo

k = 2 m E ℏ

Ficamos com:

d 2 d x 2 ψ x + k 2 ψ ( x ) = 0

Bem dizer encontramos uma equação diferencial de segunda ordem. Esse tipo de equação já tem um resultado tabelado dado por:

ψ 2 x = A cos ⁡ ( k x ) + B sen ⁡ ( k x )

Prontinho, conseguimos tudo que o item pede.

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Ele quer a equação de Schrödinger na região 1 e 3 , mas essas regiões estão submetidas ao mesmo potencial U x = U 0 , logo nossa equação fica assim:

- ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ x + U 0 ψ ( x ) = E ψ ( x )

Agora para encontrar a solução geral, primeiro vamos encontrar a solução geral sem levar em conta se x é maior ou menor que L ou - L e depois vamos ver cada região.

Temos que mexer um pouco na nossa equação para ela ficar com uma cara melhor.

Podemos dividir toda equação por - ℏ 2 / 2 m , assim temos:

d 2 d x 2 ψ x - 2 m U 0 ℏ 2 ψ ( x ) = - 2 m E ℏ 2 ψ ( x )

⇒ d 2 d x 2 ψ x - 2 m U 0 ℏ 2 ψ x + 2 m E ℏ 2 ψ ( x ) = 0

⇒ d 2 d x 2 ψ x - 2 m ( U 0 - E ) ℏ 2 ψ x = 0

O fato de ter deixado U 0 - E e não E - U 0 , foi porque o enunciado fala que U 0 > E , assim a subtração entre eles fica positiva.

Fazendo

q = 2 m ( U 0 - E ) ℏ

Ficamos com:

d 2 d x 2 ψ x - q 2 ψ ( x ) = 0

Bem dizer encontramos uma equação diferencial de segunda ordem. Esse tipo de equação já tem um resultado tabelado dado por:

ψ x = C e q x + D e - q x

Passo 4

Agora vamos olhar as regiões separadamente.

Primeiro vamos analisar a região 1 .

Quando temos x → - ∞ temos um problema, o termo D e - q x da nossa solução diverge e as soluções da equação de Schrödinger não podem divergir.

E lembrando do fato de que em regiões onde U > E a função de onda deve ir a zero, temos que D tem quer ser igual zero.

Assim a solução para essa região é:

ψ 1 x = C e q x

Agora para a região 3 .

O argumento é bem parecido com o da região 1 , só que agora quando x → ∞ o termo C e q x diverge, logo C = 0 e temos a seguinte solução:

ψ 3 x = D e - q x

Passo 5

Agora vamos para o item ( c ) .

Ele quer saber as condições de contorno desse sistema, para achá-las temos que lembrar que a função de onda deve ser continua em qualquer ponto, inclusive nas paredes do poço de potencial.

Isso quer dizer que em x = - L , temos que:

ψ 1 - L = ψ 2 - L

E que em x = L , temos que:

ψ 2 L = ψ 3 L

Então temos que abrir essas expressões.

Para x = - L , temos:

C e - q L = A cos ⁡ - k L + B sen ⁡ - k L

Como cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar, temos:

C e - q L = A cos ⁡ k L - B sen ⁡ k L

Agora para x = L , temos:

A cos ⁡ k L + B sen ⁡ k L = D e - q L

Prontinho, encontramos as condições pedidas.

Passo 6

Agora vamos resolver o item ( d ) , finalmente o último kkkk.

Ele quer a probabilidade de encontrar a partícula na região x > L . Isso é bem dizer o mesmo que a probabilidade de encontrarmos a partícula na região 1 ou na região 2 .

A probabilidade de encontrarmos a partícula em uma região do espaço é dada pela seguinte equação:

p a < x < b = ∫ a b ψ ( x ) 2 d x

Para o nosso caso ficamos com o seguinte:

p x > L = ∫ - ∞ - L ψ 1 ( x ) 2 d x + ∫ L ∞ ψ 3 ( x ) 2 d x

Substituindo com o que sabemos, temos:

p x > L = ∫ - ∞ - L ( C e q x ) ( C e q x ) d x + ∫ L ∞ ( D e - q x ) ( D e - q x ) d x

= ∫ - ∞ - L C 2 e 2 q x d x + ∫ L ∞ D 2 e - 2 q x d x

Passo 7

Agora vamos resolver essas integrais.

Vamos começar com a primeira, temos:

∫ - ∞ - L C 2 e 2 q x d x = C 2 ∫ - ∞ - L e 2 q x d x

= C 2 1 2 q e 2 q x - ∞ - L

= C 2 1 2 q e - 2 q L - 0 = C 2 1 2 q e - 2 q L

Agora a segunda integral, temos:

∫ L ∞ D 2 e - 2 q x d x

= D 2 - 1 2 q e - 2 q x L ∞

= 0 + D 2 1 2 q e - 2 q L = D 2 1 2 q e - 2 q L

Então temos que:

p x > L = C 2 1 2 q e - 2 q L + D 2 1 2 q e - 2 q L = 1 2 q e - 2 q L ( C 2 + D 2 )

Resposta

Demonstrado acima.

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