Exercícios Resolvidos de Partícula no Poço Finito

Origem do Exercício

Uma partícula de massa m se move em uma dimensão na presença de um “poço de potencial” de profundidade U 0 e largura 2 L conforme a figura 1 . A partícula se encontra num estado estacionário de energia E < U 0 .

  1. A densidade de probabilidade de se encontrar a partícula em uma das regiões fora do poço é C exp ⁡ - 2 b x , onde C e b são constantes positivas. Explicite a região fora do poço na qual é aceitável esta densidade e explique o porquê. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula nesta região (suponha C e b conhecidos).
  2. Calcule a constante b para que a função de onda associada à densidade de probabilidade C exp ⁡ - 2 b x satisfaça a equação de Schrödinger na região apropriada.
  3. Escreva a equação de Schrödinger para a região - L < x < L e determine a solução geral desta equação.

Passo 1

Letra a)

A densidade da probabilidade tem que ser tal que ela seja possível de ser normalizada.

∫ - ∞ ∞ ψ 2 x d x = 1

Para isso, a integral dela em todas as regiões não pode ser infinita.

Quando vamos andando no sentido negativo do eixo x , essa função vai crescendo cada vez mais, sendo que quando x → - ∞ , essa densidade de probabilidade tende ao infinito:

x → - ∞ ;     C e - 2 b x → ∞

Logo, essa densidade não pode descrever a partícula para x ≤ - L .

Mas ela pode descrever a partícula na região x ≥ L , pois neste caso:

x → ∞ ;       C e - 2 b x → 0

E podemos normalizar a função!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a probabilidade da partícula se encontrar em x ≥ L . Lembrando que C e - 2 b x é a densidade de probabilidade, temos:

ψ 2 x = C e - 2 b x

P x ≥ L = ∫ L ∞ C e - 2 b x d x = - C 2 b e - 2 b x L ∞ = - C 2 b ∙ 0 - e - 2 b L = C e - 2 b L 2 b

Passo 3

Letra b)

Sabemos que

ψ 2 x = C e - 2 b x

Porém, é a função de onda que aparece na equação de Schrödinger. Então, tirando a raíz quadrada:

ψ x = C e - b x

A equação de Schrödinger nessa região é dada por

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + U 0 ψ = E ψ

Pois a energia potencial é U 0 . Rearrumando:

d 2 ψ d x 2 = 2 m U 0 - E ℏ 2 ψ

Substituindo nossa função de onda:

d ψ d x = - b C e - b x

d 2 ψ d x 2 = b 2 C e - b x

O que dá:

b 2 C e - b x = 2 m U 0 - E ℏ 2 C e - b x

Ou seja:

b = 2 m U 0 - E ℏ 2

Passo 4

Letra c)

Nesta região, a energia potencial é zero, e a equação de Schrödinger fica:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 = E ψ

Agora vamos ajeitá-la de forma que saibamos resolver.

d 2 ψ d x 2 = - 2 m E ℏ 2 ψ

Definindo k 2 = 2 m E / ℏ 2   , temos:

d 2 ψ d x 2 = - k 2 ψ

Cuja solução é uma combinação de senos e cossenos (ou de exponenciais complexas)

ψ = A cos ⁡ k x + B sen ⁡ k x

Resposta

Letra a)

A região é x ≥ L .

P x ≥ L = C e - 2 b L 2 b

Letra b)

b = 2 m U 0 - E ℏ 2

Letra c)

ψ = A cos ⁡ k x + B sen ⁡ k x

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