Exercícios Resolvidos de Partícula no Poço Finito

Origem do Exercício

Uma partícula de massa m e energia constante E , move-se no sentido positivo do eixo x na presença de um degrau de potencial.

  1. Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo desta partícula para x ≥ 0 (região 2 ).
  2. Determine a solução geral da equação de Schrödinger na região 2 para E > U 0 . Qual é a solução fisicamente aceitável para o problema? Justifique.
  3. Determine a solução geral da equação de Schrödinger na região 2 para E < U 0 . Qual é a solução fisicamente aceitável para o problema? Justifique.

Passo 1

Letra a)

A equação de Schrödinger é

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + U x ψ = E ψ

Para x ≥ 0 a energia potencial é U x = U 0 , e assim:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 2 d x 2 + U 0 ψ 2 = E ψ 2

A equação fica:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 2 d x 2 = E - U 0 ψ 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Para E > U 0 , podemos rearrumar a equação e fazer:

d 2 ψ 2 d x 2 = - 2 m E - U 0 ℏ 2 ψ 2

Fazendo k 2 = 2 m E - U 0 ℏ 2 , temos:

d 2 ψ 2 d x 2 = - k 2 ψ 2

Cuja solução é uma combinação de senos e cossenos ou, equivalentemente, de duas exponenciais complexas.

ψ 2 x = A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x

ψ 2 x = A e i k x + B e - i k x

No caso das exponenciais complexas é mais fácil enxergar a solução fisicamente aceitável.

Isso é porque a segunda parte, B e - i k x , corresponde a uma partícula se movendo no sentido negativo do eixo x , o que vai contra nossa hipótese.

Se a partícula estivesse na região 1 com E < U 0 , ela poderia refletir no degrau e se mover no sentido contrário. Mas além dela estar na região 2 , ela tem E > U 0 .

Por isso, temos que ter B = 0 .

ψ 2 x = A e i k x

Passo 3

Letra c)

Para E < U 0 , podemos definir:

k 2 = 2 m U 0 - E ℏ 2

E teremos:

d 2 ψ 2 d x 2 = k 2 ψ 2

Que corresponde a uma exponencial sem expoente complexo.

ψ 2 x = C e k x + D e - k x

A medida que x → ∞ , nós temos que C e k x → ∞ , e assim ela não é normalizável.

Por isso, temos que ter C = 0 para a solução fisicamente aceitável.

ψ 2 x = D e - k x

Resposta

Letra a)

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 2 d x 2 = E - U 0 ψ 2

Letra b)

Solução geral: ψ 2 x = A e i k x + B e - i k x

Solução fisicamente aceitável: ψ 2 x = A e i k x

Letra c)

Solução geral: ψ 2 x = C e k x + D e - k x

Solução fisicamente aceitável: ψ 2 x = D e - k x

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