Exercícios Resolvidos de Partícula no Poço Finito

USP, Física 4, P3 - 2014, Questão Q3

Uma partícula de massa Equation e energia constante Equation , move-se no sentido positivo do eixo Equation na presença de um degrau de potencial.

  1. Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo desta partícula para Equation (região Equation ).
  2. Determine a solução geral da equação de Schrödinger na região Equation para Equation . Qual é a solução fisicamente aceitável para o problema? Justifique.
  3. Determine a solução geral da equação de Schrödinger na região Equation para Equation . Qual é a solução fisicamente aceitável para o problema? Justifique.

Passo 1

Letra a)

A equação de Schrödinger é

Equation

Para Equation a energia potencial é Equation , e assim:

Equation

A equação fica:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Para Equation , podemos rearrumar a equação e fazer:

Equation

Fazendo Equation , temos:

Equation

Cuja solução é uma combinação de senos e cossenos ou, equivalentemente, de duas exponenciais complexas.

Equation

Equation

No caso das exponenciais complexas é mais fácil enxergar a solução fisicamente aceitável.

Isso é porque a segunda parte, Equation , corresponde a uma partícula se movendo no sentido negativo do eixo Equation , o que vai contra nossa hipótese.

Se a partícula estivesse na região Equation com Equation , ela poderia refletir no degrau e se mover no sentido contrário. Mas além dela estar na região Equation , ela tem Equation .

Por isso, temos que ter Equation .

Equation

Passo 3

Letra c)

Para Equation , podemos definir:

Equation

E teremos:

Equation

Que corresponde a uma exponencial sem expoente complexo.

Equation

A medida que Equation , nós temos que Equation , e assim ela não é normalizável.

Por isso, temos que ter Equation para a solução fisicamente aceitável.

Equation

Resposta

Letra a)

Equation

Letra b)

Solução geral: Equation

Solução fisicamente aceitável: Equation

Letra c)

Solução geral: Equation

Solução fisicamente aceitável: Equation

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