Exercícios Resolvidos de Partícula no Poço Finito

USP, Física 4, P3 - 2015, Questão Q3

Uma partícula de massa Equation e energia Equation que se move em uma dimensão possui energia potencial que varia com a posição como mostra a figura.

A função de onda estacionária Equation para esta partícula pode ser obtida separadamente em cada região do espaço, sendo assim especificada por:

Equation

  1. Para o caso Equation , escreva a solução geral para Equation , Equation e Equation , expressando-as, quando for o caso, em termos de combinações lineares das funções Equation e Equation , onde as constantes Equation e Equation são ambas reais e positivas.
  2. Calcule os valores de Equation e Equation como função de Equation , Equation e constantes do problema.
  3. Que condições de contorno as soluções Equation , Equation e Equation devem satisfazer nos pontos Equation e Equation .

Passo 1

Letra a)

A equação de Schrödinger é sempre:

Equation

Para achar as soluções de cada região, nós substituímos a energia potencial e resolvemos essa equação.

Na região Equation , Equation e Equation , a única função de onda possível, para a qual não vamos ter nenhuma inconsistência é Equation .

Na região Equation , Equation e Equation , logo:

Equation

Equation

Definindo Equation , temos:

Equation

Cuja solução é uma combinação de senos e cossenos, o que equivale a uma combinação de exponenciais complexas.

Equation

Na região Equation , Equation e Equation , sendo que Equation . Assim, a equação de Schrödinger fica:

Equation

Equation

Definindo Equation , temos:

Equation

Cuja solução é uma combinação de exponenciais reais.

Equation

Porém, neste caso, quando Equation , Equation e a função acabaria não sendo normalizável. Por isso, temos que ter Equation .

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Pelas definições do item anterior, temos:

Equation

Equation

Passo 3

Letra c)

As condições de contorno da função de onda são sempre que ela seja contínua. Isso significa que em Equation e Equation tenhamos:

Equation

Equation

Mas além disso, como Equation e Equation não são zero, também igualamos suas derivadas em Equation , de forma que a derivada da função de onda seja contínua.

Equation

Resposta

Letra a)

Equation

Equation

Equation

Letra b)

Equation

Equation

Letra c)

Equation

Equation

Equation

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