Exercícios Resolvidos de Pêndulo

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Enunciado

Uma partícula de massa m está presa a um fio ideal de comprimento l cuja outra extremidade está fixada a um ponto A no teto.

A partícula é largada do repouso quando o fio faz um ângulo β com a vertical. Ao passar pelo ponto mais baixo de sua trajetória, o fio se rompe. Utilize o sistema de coordenadas indicado na figura e despreze todas as resistências.

a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre a partícula no momento imediatamente anterior ao rompimento do fio.

b) Calcule o vetor velocidade da partícula neste momento, justificando seus cálculos.

c) Calcule o módulo da tensão no fio no instante imediatamente anterior ao seu rompimento.

d) Sendo h a altura que a partícula se encontra no momento do rompimento do fio, medida a partir do chão, obtenha a distância horizontal percorrida por ele desde o instante do rompimento do fio até o instante em que ele atinge o chão.

Passo 1

a)

As únicas forças atuando na partícula nesse momento são a força peso P → e a força de tensão T → do fio (ou tração, tanto faz). Então o diagrama é:

Passo 2

b)

Queremos a velocidade da partícula logo antes do fio romper, sendo que ela partiu do repouso. Então parece uma boa aplicar a conservação da energia mecânica.

Vejamos, a força peso é conservativa. E a força de tensão é sempre perpendicular ao movimento da partícula, então ela não realiza trabalho. Ou seja, não tem nenhuma força não-conservativa realizando trabalho.

Beleza, podemos aplicar a conservação da energia mecânica! A energia mecânica inicial E m i é igual à energia mecânica final E m f :

E m i = E m f

Passo 3

Sendo K a energia cinética e U g a energia potencial gravitacional, a equação fica:

K i + U g i = K f + U g f

A partícula sai do repouso, então K i = 0 .

A energia potencial gravitacional é relativa, então vamos considerar U g f = 0 que vai facilitar bastante as nossas contas. Ou seja:

0 + U g i = K f + 0

⇒ m g h i = 1 2 m v f 2

⇒ v f = 2 g h i ,

sendo h i a altura inicial da partícula.

Passo 4

Então só precisamos da altura h i . Pra isso vamos ter que aplicar uma trigonometriazinha. Dá uma olhada nessa figura:

Podemos ver que

h i = l - l cos ⁡ β

⇒ h i = l 1 - cos ⁡ β

Passo 5

Show! Então o módulo da velocidade final que a gente queria é:

v f = 2 g h i

⇒ v f = 2 g l 1 - cos ⁡ β

Mas ele pediu o vetor velocidade, então temos que ver pra onde ele aponta.

Até logo antes do fio se romper, a partícula está seguindo um movimento circular, então o vetor velocidade é tangente à trajetória. O fio, quando se rompe, está na vertical, então o vetor velocidade está na horizontal, apontando pra direita:

Sendo î   o vetor unitário do eixo x , o vetor velocidade vai ser:

v → f = v f î = 2 g l 1 - cos ⁡ β   î  

Passo 6

c)

A força resultante atuando na partícula logo antes do fio se romper é:

F → r = T → + P →

E pela 2ª lei de Newton,

F → r = m a →

Logo,

T → + P → = m a →

Como a força de tensão aponta pra cima, no sentido do eixo y , e a força peso pra baixo, em módulo isso dá:

T - P = m a

⇒ T - m g = m a

⇒ T = m a + m g = m ( a + g )

Passo 7

E essa aceleração a a gente consegue achar!

Que nem eu falei antes, logo antes do fio se romper a partícula está seguindo um movimento circular. Na parte mais baixa da trajetória, que é onde o fio se rompe, a sua aceleração é puramente centrípeta!

a = a c p

E a aceleração centrípeta é:

a c p = v e l o c i d a d e 2 r a i o

A velocidade a gente já calculou, é v f , e o raio seria o comprimento do fio l , ou seja:

a = v f 2 l = 2 g l 1 - cos ⁡ β 2 l = 2 g l 1 - cos ⁡ β l

⇒ a = 2 g 1 - cos ⁡ β

Passo 8

Voltando ao que achamos antes:

T = m a + g

⇒ T = m 2 g 1 - cos ⁡ β + g

⇒ T = m g ( 2 1 - cos ⁡ β + 1 )

⇒ T = m g 3 - 2 cos ⁡ β

Passo 9

d)

Quando o fio se rompe, a tração some então a força resultante sobre a partícula é a força peso:

F → r = P →

Então, pela 2ª lei de Newton, vamos ter

P → = m a →

⇒ m g → = m a →

⇒ g → = a →

Agora a partícula está em queda livre! Mas ela não deixa de ter um movimento horizontal, devido à velocidade v f que ela tinha quando o fio se rompeu, beleza?

Passo 10

Então o que queremos achar é o alcance da partícula, sabendo que ela foi lançado de uma altura h com uma velocidade v f î , e somente sob ação da gravidade.

Vamos separar o movimento em uma componente horizontal e uma vertical, ok?

Passo 11

Começando pela componente horizontal:

A gravidade só age no eixo y , no eixo x não tem nenhuma força agindo! Ou seja, no eixo x a partícula segue um MRU com velocidade v f = 2 g l 1 - cos ⁡ β .

Então no eixo x as equações do movimento são:

a x t = 0 v x t = 2 g l 1 - cos ⁡ β r x t = 2 g l 1 - cos ⁡ β ⋅ t

Passo 12

Agora vamos ver a componente vertical.

Como já vimos, na vertical o movimento é de queda livre, um MRUV com aceleração a = - g . A velocidade da partícula quando o fio se rompe é somente horizontal, no eixo y ela é nula.

Então no eixo y as equações do movimento são:

a y t = - g v y t = - g t r y t = - g t 2 2 + h

Passo 13

Quando a partícula chega no chão, seu deslocamento vertical r y é nulo. Então digamos que t c é o tempo no qual a partícula toca o chão. Isso significa que:

r y t c = - g t c 2 2 + h = 0

⇒ g t c 2 = 2 h

⇒ t c = 2 h g

Passo 14

No tempo t c o deslocamento horizontal r x da partícula é justamente o alcance que queremos achar. Vamos chamar esse alcance de A . Então temos

r x t c = 2 g l 1 - cos ⁡ β ⋅ t c = A

⇒ 2 g l 1 - cos ⁡ β 2 h g = A

⇒ 2 g l 1 - cos ⁡ β 2 h g = A

⇒ A = 4 h l 1 - cos ⁡ β = 2 h l 1 - cos ⁡ β

Resposta

a)

b)

v → f = 2 g l 1 - cos ⁡ β   î  

c)

T = m g 3 - 2 cos ⁡ β

d)

A = 2 h l 1 - cos ⁡ β

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