Exercícios Resolvidos de Pêndulo

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Enunciado

Um pêndulo é constituído por uma pequena esfera de massa m e um fio ideal de comprimento l . No instante em que o fio faz um ângulo θ com a vertical, a resultante R → das forças que atuam sobre a esfera tem direção horizontal, conforme a figura abaixo. Responda as perguntas abaixo.

a) Qual o módulo v 1 da velocidade da esfera no instante indicado na figura?

b) Supondo conhecido o valor de v 1 , qual o módulo da velocidade da esfera quando o fio estiver alinhado verticalmente?

Passo 1

Vamos analisar as forças atuando na partícula:

Temos a força peso e a força de tração.

O enunciado nos diz que nesse instante, a força resultante ( R → ) na partícula é horizontal. Então, vamos decompor as forças nos eixos vertical e horizontal para entender melhor isso.

A força peso já está na vertical, então, vamos decompor a força de tração ( T → ):

Se a nossa força resultante total ( R → ) está na horizontal, temos que as forças na vertical têm que se anular. Então com isso tiramos a primeira relação do nosso problema:

T cos ⁡ θ - P = 0

T = m . g cos ⁡ θ

Vamos dar uma olhada no primeiro item.

Passo 2

a) Qual o módulo v 1 da velocidade da esfera no instante indicado na figura?

Como a partícula no pêndulo percorre uma trajetória circular, podemos pensar numa força centrípeta para achar uma relação entre as forças e a velocidade.

Para isso, vamos decompor as forças, agora, na direção radial (eixo apontando para o centro):

A componente da força resultante que atua como centrípeta será igual ao somatório das forças sobre o eixo passando pelo centro do círculo, ou seja, T → e a componente da força peso ( P cos ⁡ θ ):

F c t p = m v 2 R

T - P cos ⁡ θ = m v 1 2 l

Podemos substituir o valor da força de tração já encontrada ( T = m g / cos ⁡ θ ):

m . g cos ⁡ θ   - m . g cos ⁡ θ = m v 1 2 l

Podemos cortar a massa:

g cos ⁡ θ - g cos ⁡ θ = v 1 2 l

v 1 2 = l . g 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ

Calculando a raiz disso, já encontramos uma expressão para v 1 , porém podemos tentar deixar a resposta com uma cara mais amigável:

v 1 2 = l . g 1 - cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ  

Com a relação fundamental trigonométrica, temos que ( 1 - cos 2 ⁡ θ = s e n 2   θ ):

v 1 = l . g s e n 2   θ cos ⁡ θ

v 1 = l . g . tan ⁡ θ . s e n   θ

Passo 3

b) Supondo conhecido o valor de v 1 , qual o módulo da velocidade da esfera quando o fio estiver alinhado verticalmente?

Para resolver esse item podemos pensar na conservação da energia mecânica. Vamos ter a energia potencial gravitacional sendo transformada em energia cinética.

Só para deixar claro, que a energia só se conserva pois a força de tração no fio é sempre perpendicular ao movimento da partícula, logo seu trabalho é zero. Assim, a única força externa que atua na partícula é a força peso, que é uma força conservativa.

Vamos usar o ponto mais baixo como referencial de energia potencial nula.

No ponto inicial, a partícula vai ter uma energia cinética ( K i ) associada à sua velocidade v 1 e uma energia potencial gravitacional ( U i ) associada à sua altura h . Já no ponto final, quando o fio estiver na vertical, a partícula vai ter apenas uma energia cinética ( K f ):

Conservando a energia mecânica, temos:

E M i = E M f

K i + U i = K f

m v 1 2 2 + m g h = m v f 2 2

Podemos cortar a massa e multiplicar por 2 todos os termos:

v 1 2 + 2 g h = v f 2

Mas como encontramos a altura h ?

Podemos dizer que:

l = l cos ⁡ θ + h

h = l 1 - cos ⁡ θ

Voltando à nossa equação, conseguimos encontrar v f :

v f 2 = v 1   2 + 2 g l 1 - cos ⁡ θ

v f = v 1 2 + 2 g l 1 - cos ⁡ θ

Resposta

(a) v 1 = l . g . tan ⁡ θ . s e n   θ

(b) v f = v 1 2 + 2 g l 1 - cos ⁡ θ

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